Bài 4: Vi phân

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 6 2020 lúc 23:49

1.

\(x_{n+2}-3x_{n+1}+2x_n=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)

Xét pt thuần nhất: \(x_{n+2}-3x_{n+1}+2x_n=0\)

Pt đặc trưng: \(\lambda^2-3\lambda+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\lambda=1\\\lambda=2\end{matrix}\right.\)

Nghiệm của pt thuần nhất: \(\overline{x_n}=c_1+c_2.2^n\)

- Nghiệm riêng \(x_n^0\)

Do Pt đặc trưng cho nghiệm thực và các hệ số của lượng giác là hằng số bậc 0 nên nghiệm riêng có dạng: \(x_n^0=p.cos\frac{n\pi}{2}+q.sin\frac{n\pi}{2}\) với p;q là các số thực

Thay vào pt:

\(p.cos\frac{\left(n+2\right)\pi}{2}+q.sin\frac{\left(n+2\right)\pi}{2}-3pcos\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}-3q.sin\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}+2p.cos\frac{n\pi}{2}+2q.sin\frac{n\pi}{2}=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)

\(\Leftrightarrow-p.cos\frac{n\pi}{2}-q.sin\frac{n\pi}{2}+3p.sin\frac{n\pi}{2}-3qcos\frac{n\pi}{2}+2p.cos\frac{n\pi}{2}+2q.sin\frac{n\pi}{2}=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(p-3q\right)cos\frac{n\pi}{2}+\left(q+3p\right)\frac{n\pi}{2}=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}p-3q=12\\3p+q=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=\frac{33}{10}\\q=-\frac{29}{10}\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm riêng có dạng:

\(x_n^0=\frac{33}{10}.cos\frac{n\pi}{2}-\frac{29}{10}.sin\frac{n\pi}{2}\)

Nghiệm tổng quát: \(x_n=c_1+c_2.2^n+\frac{33}{10}.cos\frac{n\pi}{2}-\frac{29}{10}.sin\frac{n\pi}{2}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 6 2020 lúc 0:00

Câu 2:

\(\left(x^2-3y^2\right)dx+7xydy=0\)

- Với \(x=0\) là 1 nghiệm của pt đã cho

- Với \(x\ne0\)

\(\Leftrightarrow dy+\frac{1}{7}\left(\frac{x^2-3y^2}{xy}\right)dx=0\)

\(\Leftrightarrow dy+\frac{1}{7}\left(\frac{x}{y}-\frac{3y}{x}\right)dx=0\)

Đặt \(u=\frac{y}{x}\Rightarrow y=ux\Rightarrow dy=u.dx+x.du\)

\(\Leftrightarrow u.dx+x.du+\frac{1}{7}\left(\frac{1}{u}-3u\right)dx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{4u^2+1}{7u}\right)dx=-x.du\)

\(\Leftrightarrow\frac{7u.du}{4u^2+1}+\frac{dx}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{8}.\frac{d\left(4u^2+1\right)}{4u^2+1}+\frac{dx}{x}=0\)

Lấy tích phân 2 vế:

\(\Rightarrow\frac{7}{8}\int\frac{d\left(4u^2+1\right)}{4u^2+1}+\int\frac{dx}{x}=C\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{8}ln\left(4u^2+1\right)+ln\left|x\right|=C\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{8}ln\left(\frac{4y^2}{x^2}+1\right)+ln\left|x\right|=C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 6 2020 lúc 17:35

1.

\(y_{n+2}+2y_{n+1}+4y_n=3n-4\)

Xét phương trình thuần nhất: \(y_{n+2}+2y_{n+1}+4y_n=0\)

Pt đặc trưng: \(\lambda^2+2\lambda+4=0\Rightarrow\lambda_{1,2}=2\left(cos\frac{2\pi}{3}\pm sin\frac{2\pi}{3}\right)\)

\(\Rightarrow\) Nghiệm của pt thuần nhất có dạng:

\(\overline{y_n}=2^n\left(c_1.cos\frac{2n\pi}{3}+c_2.sin\frac{2n\pi}{3}\right)\)

Tìm nghiệm riêng có dạng: \(y_n^0=an+b\)

Thay vào pt:

\(a\left(n+2\right)+b+2\left[a\left(n+1\right)+b\right]+4\left[an+b\right]=3n-4\)

\(\Leftrightarrow7an+4a+7b=3n-4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7a=3\\4a+7b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{3}{7}\\b=-\frac{40}{49}\end{matrix}\right.\)

Nghiệm riêng có dạng: \(y_n^0=\frac{3}{7}n-\frac{40}{49}\)

Nghiệm tổng quát: \(y_n=2^n\left(c_1.cos\frac{2n\pi}{3}+c_2.sin\frac{2n\pi}{3}\right)+\frac{3}{7}n-\frac{40}{49}\)

2.

\(\left(y^2-2\right)dx=y\left(x^2+1\right)dy\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{y^2-2}dy-\frac{1}{x^2+1}dx=0\)

Lấy tích phân 2 vế:

\(\Rightarrow\int\frac{y}{y^2-2}dy-\int\frac{1}{x^2+1}dx=C\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}ln\left|y^2-2\right|-arctanx=C\)

Bình luận (0)
Sách Giáo Khoa

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN