Bài 4: Cấp số nhân

6: \(u_1=5\cdot2^{1+2}=5\cdot2^3=5\cdot8=40\)

\(u_2=5\cdot2^{2+2}=5\cdot2^4=80\)

=>q=u2/u1=2

Chọn B

Ta biến đổi dãy như sau: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_n+1=3u_{n-1}+3=3\left(u_{n-1}+1\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(v_n=u_n+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1+1=3\\v_n=3v_{n-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(v_n\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q=3\)

CHọn B

B

Ta có : \(u_n=2.3^{n+1}\Rightarrow u_1=2.3^{1+1}=18;u_2=2.3^{2+1}=54\)

\(\Rightarrow q=\dfrac{_{u_2}}{u_1}=\dfrac{54}{18}=3\) . Chọn D 

Khó thế

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{n.u_n^2+1}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n}+n.u_n\)

Đặt \(\dfrac{1}{u_n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{2022}\\v_{n+1}=v_n+\dfrac{n}{v_n}\end{matrix}\right.\)

\(v_2=v_1+2022>2\)

\(v_3=v_2+\dfrac{2}{v_2}>3\)

Ta sẽ chứng minh \(v_n\ge n\) với mọi \(n\ge2\)

Với \(n=2;3\) đúng (như đã kiểm chứng ở trên)

Giả sử điều đó đúng với \(n=k\ge2\) hay \(v_k\ge k\)

Ta cần chứng minh: \(v_{k+1}\ge k+1\)

Thật vậy, do \(v_k\ge k\), đặt \(v_k=k+\alpha\) với \(\alpha\ge0\)

Ta có: \(v_{k+1}=v_k+\dfrac{k}{v_k}=k+\alpha+\dfrac{k}{k+\alpha}=k+\dfrac{k.\alpha+\alpha^2+k}{k+\alpha}\)

\(\ge k+\dfrac{k\alpha+k}{k+\alpha}\ge k+\dfrac{k+\alpha}{k+\alpha}=k+1\) (do \(k\ge2\Rightarrow k\alpha\ge\alpha\))

Tương tự, ta quy nạp được \(v_n< v_2+n\) với \(n\ge2\)

Với \(n=2\) đúng

Giả sử đúng với \(n=k\ge2\) hay \(v_k< v_2+k\)

Cần chứng minh: \(v_{k+1}< v_2+k+1\)

Ta có: \(v_{k+1}=v_k+\dfrac{k}{v_k}< v_2+k+\dfrac{k}{v_k}\le v_2+k+\dfrac{k}{k}=v_2+k+1\)

(Do chứng minh trên \(v_n\ge n\Rightarrow\dfrac{k}{v_k}\le\dfrac{k}{k}\))

Vậy \(n\le v_n\le v_2+n\)

\(\Rightarrow1\le\dfrac{v_n}{n}\le1+\dfrac{v_2}{n}\)

\(\Rightarrow1\le\dfrac{1}{n.u_n}\le1+\dfrac{v_2}{n}\)

Do \(\lim1=\lim\left(1+\dfrac{v_2}{n}\right)=1\)

Theo định lý kẹp, dãy \(\left\{\dfrac{1}{n.u_n}\right\}\) có giới hạn và \(\lim\left\{\dfrac{1}{n.u_n}\right\}=1\)

Câu 33:

Đặt $b=aq$ và $c=aq^2$ với $q$ là công bội 

Theo bài ra ta cũng có:

$b=a+3d$ và $c=a+7d$ với $d$ là công sai 

$\Rightarrow aq=a+3d$ và $aq^2=a+7d$

$\Leftrightarrow a(q-1)=3d$ và $a(q^2-1)=7d$ 
$\Rightarrow \frac{a(q^2-1)}{a(q-1)}=\frac{7}{3}$

$\Leftrightarrow q+1=\frac{7}{3}$

$\Leftrightarrow q=\frac{4}{3}$

Thay vào điều kiện: $a+aq+aq^2=\frac{148}{9}$ suy ra $a=4$ 

Vậy $q=\frac{4}{3}; a=4$. Thay vô $T$:

$T=a-b+c-d=a-aq+aq^2-aq^3$

$=a(1-q+q^2-q^3)=\frac{-100}{27}$
Đáp án C>

Câu 34:
Trước tiên để có 3 nghiệm pb thì $m\neq 1; m\neq 3$
PT có 3 nghiệm: $1,3,m$

$3$ nghiệm này lập thành cấp số nhân theo thứ tự là:

TH1: $1,3,m$

$\Rightarrow q=3:1=3$. $m=3q=3.3=9$

TH2: $1,m,3$

$m=1.q=q>0$ do đây là csn tăng

$3=mq=q^2\Rightarrow q=\sqrt{3}$

$\Rightarrow m=\sqrt{3}$

TH3:

$m, 1,3$

$1=mq; 3=1.q$

$\Rightarrow q=3\Rightarrow m=\frac{1}{3}$

Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa mãn. Đáp án B.

Chọn C

Gọi q là công bội của CSN \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_3=8q^2\\u_2=8q\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4u_3+2u_2-15u_1=32q^2+16q-120=32\left(q+\dfrac{1}{4}\right)^2-122\ge-122\)

Dấu "=" xảy ra khi \(q=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow S_{10}=u_1.\dfrac{1-q^{10}}{1-q}=\dfrac{32}{5}\left(1-\dfrac{1}{4^{10}}\right)=\dfrac{2\left(4^{10}-1\right)}{5.4^8}\)

\(T=\dfrac{1}{3}.9+\dfrac{1}{3}.99+...+\dfrac{1}{3}.999...9\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(10^1-1\right)+\dfrac{1}{3}\left(10^2-1\right)+...+\dfrac{1}{3}\left(10^{99}-1\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(10^1+10^2+...+10^{99}\right)-\dfrac{1}{3}.99\)

\(=\dfrac{1}{3}.10.\dfrac{10^{99}-1}{10-1}-33=\dfrac{10^{100}-10}{27}-33\)

\(u_7=u_1.q^6\Rightarrow q^6=729\Rightarrow q=\pm3\)

Với \(q=3\Rightarrow u_8=u_7.q=2187\)

Với \(q=-3\Rightarrow u_8=-3.729=-2187\)