Question

Tổng của số hạng thứ hai và thứ tư của một cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là 30 và tích của chúng bằng 144. Tìm tổng mười số hạng đầu tiên của dãy số đó ?

Answer 1

Gọi cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là \(a_n\). Theo đầu bài ta có \(a_2,a_4\) là 2 nghiệm của phương trình

\(t^2-30t+144=0\Leftrightarrow\begin{cases}t=6\\t=24\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a_2=6\\a_4=24\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a_2=24\\a_4=6\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1q=6\\a_1q^3=24\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a_1q=24\\a_1q^3=6\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1q=6\\q^2=4\end{cases}\)  hoặc \(\begin{cases}a_1q=24\\q^2=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1=\frac{6}{\pm2}\\q=\pm2\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a_1=24\left(\pm2\right)\\q=\pm\frac{1}{2}\end{cases}\)

Do cấp số nhân tăng nghiêm ngặt, nên q>1, do vậy ta chọn \(a_1=3;q=2\)

Cho nên \(S_{10}=u_1\frac{2^{10}-1}{2-1}=3.\left(1024-1\right)=3069\)

Answer 2

Giao lưu:

Gọi dãy số đã co có dạng: \(U_1;U_2;U_3;U_4;U_5...U_{10}...U_n\)

đầu bài ta có hệ phương trình.

\(\left\{\begin{matrix}U_n.q=U_{\left(n+1\right)}\left(1\right)\\q>1\left(2\right)\\U_2+U_4=144\left(3\right)\\U_2.U_4=30\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Thế (3) vào (4) \(\Leftrightarrow U_2\left(144-U_2\right)=30\Leftrightarrow U_2^2-144U_4+30=0\Rightarrow\left[\begin{matrix}U_2=24\\U_2=6\end{matrix}\right.\)

Vì U₂ và U₄ có vai trò như nhau

do vậy có cắp nghiệm là hoán đổi (U₂,U₄)=(6,24)(*)

Từ (1) và (2) ta có(*)=> \(\left\{\begin{matrix}U_2=6\\U_4=24\end{matrix}\right.\)(**)

Từ (1) ta có: \(U_4=q.U_3=q.\left(q.U_2\right)=q^2.U_2\)(4)

Từ (**) và (4) ta có \(\frac{U_4}{U_2}=q^2=\frac{24}{6}=4\Rightarrow!q!=2\) (5)

Từ (3) và (5) => q=2

Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của dẫy là :\(S_{10}=2^0.3+2^1.3+3.2^2+...+3.2^8+3.2^9=3.\left(1+2+2^2+..+2^9\right)\)

\(S_{10}=3.\left(2^{10}-1\right)\)