Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

\(\left(1+x\right)^6\left(1+x^2\right)^5=\left(\sum\limits^6_{i=0}C^i_61^{6-i}\cdot x^i\right)\left(\sum\limits^5_{k=0}C^k_51^{5-k}\cdot\left(x^2\right)^k\right)\)

\(=\sum\limits^6_{i=0}\sum\limits^5_{k=0}C^i_6C^k_5x^{i+2k}\)

Số hạng chứa \(x^5\) trong khai triển trên có \(i,k\) thỏa mãn:

\(i+2k=5,i,k\in N,0\le i\le6,0\le i\le5\).

Do đó \(\left[{}\begin{matrix}i=1;k=2\\i=3;k=1\\i=5;k=0\end{matrix}\right.\).

Vậy hệ số của \(x^5\) trong khai triển trên là: \(C^1_6\cdot C^2_5+C^3_6\cdot C^1_5+C^5_6C^0_5=166\).

Chọn B

Câu 20:

SHTQ là \(C^k_{10}\cdot1^{10-k}\cdot\left(-2x\right)^k=C^k_{10}\cdot\left(-2\right)^k\cdot x^k\)

Hệ số của x^7 tương ứng với k=7

=>Hệ số của x^7 là \(C^7_{10}\cdot\left(-2\right)^7=-15360\)

Câu 21:

SHTQ là: \(C^k_{10}\cdot\left(3x^2\right)^{10-k}\cdot1^k=C^k_{10}\cdot3^{10-k}\cdot x^{20-2k}\)

Số hạng chứa x^8 tương ứng với 20-2k=8

=>k=6

=>Số hạng đó là \(x^8\cdot C^6_{10}\cdot3^{10-6}=17010x^8\)

b: (2x+1/x)^5

\(=C^0_5\cdot\left(2x\right)^5+C^1_5\cdot\left(2x\right)^4\cdot\dfrac{1}{x}+C^2_5\cdot\left(2x\right)^3\cdot\dfrac{1}{x^2}+C^3_5\cdot\left(2x\right)^2\cdot\dfrac{1}{x^3}+C^4_5\cdot\left(2x\right)^1\cdot\dfrac{1}{x^4}+C^5_5\cdot\left(2x\right)^0\cdot\dfrac{1}{x^5}\)

=32x^5+80x^3+80x+40/x+10/x^3+1/x^5

1.

Số hạng tổng quát của khai triển có dạng:

\(C_7^k\left(2x^2\right)^k.\left(-2.x^{-1}\right)^{7-k}=C_7^k.2^7.\left(-1\right)^{7-k}.x^{3k-7}\)

Số hạng chứa \(x^5\) thỏa mãn:

\(3k-7=5\Rightarrow k=4\)

Hệ số của số hạng đó là: \(C_7^4.2^7.\left(-1\right)^3=...\)

2.

\(C_n^1+C_n^3=13n\) (với \(n\ge3\))

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}=13n\)

\(\Leftrightarrow n^3-3n^2-70n=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\left(loại\right)\\n=-7\left(loại\right)\\n=10\end{matrix}\right.\)

SHTQ trong khai triển: \(C_{10}^k.\left(x^2\right)^k\left(x^{-3}\right)^{10-k}=C_{10}^kx^{5k-30}\)

Số hạng chính giữa có \(k=5\Rightarrow\) số hạng đó là \(C_{10}^5.x^{-5}=\dfrac{1}{x^5}.C_{10}^5\)

Lời giải:
Ta có:

\(S=k\sum\limits_{k=1}^nC^k_n3^{n-k}\)
\(S=k\sum\limits_{k=1}^{n} C^k_n3^{n-k}=k\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}3^{n-k}\)

\(=\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}.3^{n-k}=n\sum \limits_{k=1}^{n}C^{k-1}_{n-1}.3^{n-k}=n(3+1)^{n-1}=n.4^{n-1}\)

Bài 1:
\(x(x^2-\frac{2}{x})^{13}=x(x^2-2x^{-1})^{13}=x\sum\limits_{k=0}^{13}C^k_{13}(x^2)^k(-2x^{-1})^{13-k}\)

\(=x\sum\limits_{k=0}^{13}C^k_{13}x^{3k-13}(-2)^{13-k}=\sum\limits_{k=0}^{13}C^k_{13}x^{3k-12}(-2)^{13-k}\)

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển, tức là số mũ gắn với $x$ bằng $0$

$\Leftrightarrow 3k-12=0\Leftrightarrow k=4$

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: \(C^4_{13}(-2)^{13-4}=-366080\)

Bài 2:

\((4x-1)^{12}=\sum\limits_{k=0}^{12}C^k_{12}(4x)^k(-1)^{12-k}=\sum\limits_{k=0}^{12}C^k_{12}4^k(-1)^{12-k}x^k\)

Số hạng gắn với $x^5$

$\Leftrightarrow k=5$

Hệ số của $x^5$ trong khai triển là: \(C^5_{12}.4^5(-1)^{12-5}=-811008\)

Bài 3:

\((x+y)^{13}=\sum\limits_{k=0}C^k_{13}x^ky^{13-k}\)

Số hạng gắn với $x^5y^8$

$\Leftrightarrow k=5$

Hệ số của $x^5y^8$ là: $C^5_{13}=1287$

Xét khai triển:

\(\left(2+3\right)^n=2^0.3^nC_n^0+2^1.3^{n-1}C_n^1+...+2^n.3^0.C_n^n\)

\(\Rightarrow5^n=2^0.3^nC_n^0+2^1.3^{n-1}C_n^1+...+2^n.3^0.C_n^n\) (đpcm)

Câu 3:

Có tất cả 11 số hạng, số hạng chính giữa là số hạng thứ 6, tương ứng với $k=5$

Số hạng chính giữa: \(C^5_{10}(3x^2)^5(-y)^5=-3^5C^5_{10}x^{10}y^5\)

Hệ số: $-3^5.C^5_{10}$

Đáp án D.

Câu 2:

Theo khai triển Newton: \((a+2)^{n+6}=\sum \limits_{k=0}^{n+6}a^k.2^{n+6-k}\)

Số số hạng: $[(n+6)-0]:1+1=17$

$\Leftrightarrow n=10$

Đáp án C.

Câu 4:

Các số hạng trong khai triển có dạng \(C^k_8(2x)^k(-5y)^{8-k}=2^k(-5)^{8-k}C^k_8x^ky^{8-k}\) với $k=0,...,8$
Số hạng chứa $x^5y^3$

$\Leftrightarrow k=5; 8-k=3$

$\Leftrightarrow k=5$

Hệ số gắn với nó: $2^5(-5)^3C^3_8=-224000$
Không có đáp án nào đúng.

\(C^k_{18}\cdot\left(4x\right)^{18-k}\cdot\left(-3y\right)^k\)

Số hạng thứ 13 sẽ tương ứng với k=12

=>SỐ hạng cần tìm là:

\(C^{12}_{18}\cdot\left(4x\right)^6\cdot\left(-3y\right)^{12}\)

\(\left(4x-3y\right)^{18}=\sum\limits^{18}_{k=0}C_{18}^k\left(4x\right)^k.\left(-3y\right)^{18-k}=\sum\limits^{18}_{k=0}C_{18}^k.4^k.\left(-3\right)^{18-k}.x^k.y^{18-k}\)

Số hạng thứ 13 \(\Rightarrow k=12\)

\(\Rightarrow\) Số hạng đó là \(C_{18}^{12}.4^{12}.3^6.x^{12}y^6\)