Bài 14: Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố

Ta có: \(P\) là số nguyên tố.

* Xét \(P=3\) ta có \(8P-1=23\)là SNT

\(\Rightarrow\)\(8P+1=25\)là HS (T/m).

* Xét \(P\ne3\), \(P\) là SNT \(\Rightarrow P⋮3̸\)

\(\Rightarrow P\)là 1 trong các dạng \(3k+1,3k+2\left(k\in N\right)\)

Nếu \(P=3k+1\Rightarrow8P-1=8.\left(3k+1\right)-1=24k+8-1=24k+7\)

Ta thấy \(24k⋮3,7⋮3̸\)\(\Rightarrow8P-1⋮3̸\)

Mà \(P\) nguyên tố \(\Rightarrow8P-1>3\)

\(\Rightarrow8P-1\)là hợp số (loại).

\(\Rightarrow P=3k+2\Rightarrow8P+1=8.\left(3k+2\right)+1=24k+17\)

Ta thấy \(24k⋮3,17⋮3̸\)\(\Rightarrow8P+1⋮3̸\)

\(\Rightarrow8P+1>3\Rightarrow8P+1\)là hợp số (T/m).

Vậy nếu \(P\) và \(8P-1\)là 2 SNT thì \(8P+1\)là hợp số (Đpcm).

Ta có: Xét:

Nếu p=2 thì:

\(p+10=12;p+14=16\)(hợp số,loại)

Nếu p=3 thì:

\(p+10=13;p+14=17\)(SNT,chọn)

Nếu p là SNT >3 thì có dạng:

\(3k+1;3k+2\)

\(+3k+1+14=3k+15\)(hợp số,loại)

\(3k+2+10=3k+12\)(hợp số.loại)

\(\Leftrightarrow p=3\)

a. Nếu p = 2k => p = 2 => p + 10 và p + 14 đều là hợp số. (không TM)

b. Nếu p = 2k + 1 thì p có dạng 3k, 3k + 1. 3k + 2

Nếu p = 3k => p = 3 => p + 10 = 13 và p + 14 = 17 (13;17 là số nguyên tố nên thỏa mãn)

Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) chia hết cho 3 (không TM vì là hợp số)

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 10 + 2 = 3k + 12 = 3(k + 4) chia hết cho 3 (không TM vì là hợp số)

Vậy: p = 3 thì p + 10 và p + 14 là số nguyên tố.

Xét:

Nếu n=2 thì 2+10=12(hợp số) ; 2+14=16(hợp số) loại

Nếu n=3 thì 3+10=13(số nguyên tố);3+14=17(số nguyên tố ) chọn

Nếu n >3 thì sẽ được viết dưới dạng: 3k+1;3k+2

Với 3k+1 thì:

3k+1+14=3k+15(hợp số ) vì 3k là hợp số và 15 là hợp số(loại)

Với 3k+2 thì:

3k+2+10=3k+12(hợp số) (vì 3k là hợp số,12 cũng là hợp số)\

Vậy n=3

các câu sau làm tương tự

6+7 =13(số nguyên tố) (vì chỉ có 2 tự nhiên là 1 và 13)

3.10-2.9=30-18=12(hợp số)(vì ngoài 1 và chính nó còn ước khác là 2;3;4;6;12)

383+972=1355(hợp số)(vì ngoài 1 và chính nó còn ước khác là 5)

11.13.17+19.23.29=15104(hợp số)(vì ngoài 1 và chính nó còn có ước khác là 2)

17.5.6-17.29=17(số nguyên tố)(vì chỉ có 2 ước tự nhiên là 1 và chính nó)

1) 6 và 7 có ƯCLN là 1 nên 6 + 7 là số nguyên tố.

2) Vì 3.10 chia hết cho 3, 2.9 chia hết cho 3 nên 3.10 - 2.9 chia hết cho 3 nên 3.10 - 2.9 là hợp số.

3) 383 + 972 có chữ số tận cùng là 5 nên 383 + 972 chia hết cho 5 nên 383 + 972 là hợp số.

4) Vì 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 là các số lẻ nên 11.13.17 , 19.23.29 là các số lẻ nên 11.13.17+19.23.29 là số chẵn nên 11.13.17+19.23.29 chia hết cho 2 nên 11.13.17+19.23.29 là hợp số.

5) Ta có 5.6-29=1 mà 17 là số nguyên tố nên 17.5.6 -17.29 là số nguyên tố.

TH1: các số p_i đều lớn hơn 2
do p​_i nguyên tố => p_i có dạng 4n+1 hoặc 4n+3

=> p_i² chia 4 luôn dư 1
p_1² + p_2² + ... +p_7² chia 4 dư 3
hay VT có dạng 4k+3
Mà VP là p_8² ( với p₈ là số chính phương ) có dạng 4t+1

=>TH1 vô nghiệm

TH2. có 1 số nguyên tố chẵn (=2) , các số còn lại lẻ
Giả sử số nguyên tố chẵn đó là p_1²​​ , khi đó VT là một chẵn VT >2
=> p​​₈ phải là số chẵn => p₈= 2 . Vì VT >2 , VP = 2
Vậy trường hợp này loại

TH3. số số p₂ =2 là số chẵn ,giả sử có 2 số p₁,p₂

Khi đó p_1² +p_2² chia hết cho 8
=> p_3² + p_4² + ... + p_{7² chia 8 dư 7 => VT chia 8 dư 7}
mà VP= p_8² chia 8 dư 1
=> TH3 vô nghiệm

TH4: VT có 6 số = 2 , 1 số >2 , giả sử p₁₌p_{2 =} ... =p6 =2 ,p_{7 > 2}

24 + p_7² =p₈2

giải hệ nghiệm nguyên

sau đó suy ra p₇=5 , p₈= 7

vậy các số cần tìm là 2,2,2,2,2,2,5,7