Bài 1: Nguyên hàm

Đây là nguyên hàm của phân thức hữu tỉ thực sự. Đa thức mẫu số có hai nghiệm là \(x=0,x=-2\). Ta có \(x^3+4x^2+4x=x\left(x+2\right)^2\)

Ta viết biểu thức dạng \(\frac{x^2+3x-1}{x^3+4x^2+4x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{\left(x+2\right)^2}\) (1)

Trong đó A, B, C là những hệ số chưa được xác định (chưa biết)

Nghiệm \(x=2\) có bội bằng 2, cho nên trong khai triển vừa viết nó tương ứng với hai số hạng.

Quy đồng rồi khử mẫu số ở hai vế (1) ta có

\(x^2+3x-1\equiv A\left(x+2\right)^2+Bx\left(x+2\right)+Cx\) (2)

Ta cần xác định các hệ số A,B,C

Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc x ở hai vế, ta có :

\(\begin{cases}A+B=1\\4A+2B+C=3\\4A=-1\end{cases}\)\(\Rightarrow\) \(A=-\frac{1}{4};B=\frac{5}{4};C=\frac{3}{2}\)

Ta có :\(x^3-2x^2-x+2=x\left(x^2-1\right)-2\left(x^2-1\right)=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

Ta viết biểu thức dạng \(\frac{x^2-3}{x^3-2x^2-x+2}=\frac{A_1}{x+1}+\frac{A_2}{x-1}+\frac{A_3}{x-2}\)

Từ đó 

\(A_1\left(x-1\right)\left(x-2\right)+A_2\left(x+1\right)\left(x-2\right)+A_3\left(x+1\right)\left(x-1\right)\equiv x^2-3\) (1)

hay là \(\left(A_1+A_2+A_3\right)x^2+\left(-3A_1-A_2\right)x+\left(2A_1-2A_2-A_3\right)\equiv x^2-3\)

Áp dụng phương pháp cân bằng hệ số ta có

\(x^2\)  \(A_1+A_2+A\)

\(x^1\)  \(-3A_1-A\)

\(x^0\)  \(2A_1-2A_2-A\)

\(\Rightarrow A_1=-\frac{1}{3},A_2=1,A_3=\frac{1}{3}\)

Đây là nguyên hàm của phân thức hữu tỉ không thực sự. Ta cần tách phần nguyên của phân thức

\(\frac{x^4+x^2+1}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=x+\frac{5x^2+1}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

Triển khai phân thức hữu tỉ thực sự thành tổng các phân thức đơn giản

\(\frac{5x^2+1}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x-2}+\frac{A_3}{x+2}\)

Ta tính được \(A_1=-\frac{1}{4},A_2=\frac{21}{8},A_3=\frac{21}{8}\)

Do đó :

\(I=\frac{1}{2}x^2+\int\frac{-\frac{1}{4}}{x}dx+\int\frac{\frac{21}{8}}{x-2}dx+\int\frac{\frac{11}{8}}{x+2}dx\)

   \(=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\ln\left|x\right|+\frac{21}{8}\ln\left|x-2\right|+\frac{21}{8}\ln\left|x+2\right|+C\)

\(I_1=3\int_1^2x^2dx+\int_1^2\cos xdx+\int_1^2\frac{dx}{x}=x^3\)\(|^2 _1\)+\(\sin x\)\(|^2_1\) +\(\ln\left|x\right|\)\(|^2_1\)

    \(=\left(8-1\right)+\left(\sin2-\sin1\right)+\left(\ln2-\ln1\right)\)

     \(=7+\sin2-\sin1+\ln2\)

b) \(I_2=4\int_1^2\frac{dx}{x}-5\int_1^2x^4dx+2\int_1^2\sqrt{x}dx\)

         \(=4\left(\ln2-\ln1\right)-\left(2^5-1^5\right)+\frac{4}{3}\left(2\sqrt{2}-1\sqrt{1}\right)\)

         \(=4\ln2+\frac{8\sqrt{2}}{3}-32\frac{1}{3}\)

c) Ta cần xét 2 trường hợp 1) 0<a<b và 2) a<b<0

1) Nếu 0<a<b, khi đó \(f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}=1\) vì \(x>0\) 

Do đó

\(\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_a^bdx=b-a\)

2) Nếu a<b<0, khi đó \(f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}=\frac{-x}{x}=1\) vì \(x<0\)

Do đó :

\(\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_a^b\left(-1\right)dx=-\left(b-a\right)=a-b\)

\(I=\int\limits^1_0\frac{x+1-1dx}{\left(x+1\right)^3}=\int\limits^1_0\frac{dx}{\left(x+1\right)^2}-\int\limits^1_0\frac{dx}{\left(x+1\right)^3}=x+1|^1_0+\frac{1}{2\left(x+1\right)^2}|^1_0=\frac{1}{8}\)

nhaans máy tính là được mà. chuyển về chế độ radian bạn nà