Bài 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

THAM KHẢO

a) Nếu a⊥(P) thì a vuông góc với mọi đường thẳng thuộc (P)

Góc giữa a và một đường thẳng b tuỳ ý trong (P) là \(90^0\)

b) (a,a′)=α

THAM KHẢO:

a) Vì AA′⊥(ABCD) nên góc giữa đường thẳng AA' và (ABCD) là \(90^0\)

b) CC′⊥(ABCD) nên C là hình chiếu vuông góc của C' lên (ABCD).

c) Gọi cạnh của hình lập phương là a

Ta có: AC=\(a\sqrt{2}\),tan \(\widehat{ACA'}\)=\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) nên \(\widehat{ACA'}\)=\(35^O\)

AA′⊥(ABCD) nên A là hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD)

Suy ra góc giữa A'C và (ABCD) là \(\widehat{ACA'}\)=\(35^O\)

\(DK \bot \left( {ABHK} \right) \Rightarrow \left( {B{\rm{D}},\left( {ABHK} \right)} \right) = \left( {B{\rm{D}},BK} \right) = \widehat {DBK}\)

\(DK = CH = 2,AK = \sqrt {A{{\rm{D}}^2} - D{K^2}}  = \frac{{\sqrt {33} }}{2},KB = \sqrt {A{K^2} + A{B^2}}  = \frac{{\sqrt {37} }}{2}\)

\(\tan \widehat {DBK} = \frac{{DK}}{{KB}} = \frac{4}{{\sqrt {37} }} \Rightarrow \widehat {DBK} \approx 33,{3^ \circ }\)

Vậy góc giữa đường thẳng \(BD\) và đáy hồ bằng \(33,{3^ \circ }\).

THAM KHẢO:

Các nửa mặt phẳng chia không gian thành 4 phần

a: \(d\perp Ox;d\perp Oy\)

=>\(d\perp\left(Ox,Oy\right)\)

b: Số đo của \(\widehat{xOy}\) sẽ không đổi khi O di chuyển trên d

a) `[S,BC,O]`:

Góc phẳng nhị diện `[S,BC,O`] là góc giữa mặt phẳng `(SBC)` và mặt phẳng `(SBO)`. Vì hình chóp tứ giác đều, nên mặt phẳng `(SBC)` và mặt phẳng `(SBO)` là hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Do đó, góc phẳng nhị diện `[S,BC,O]` là góc vuông.

b) `[C,SO,B]`:
Góc phẳng nhị diện `[C,SO,B]` là góc giữa mặt phẳng `(CSO)` và mặt phẳng `(CSB)`. Vì hình chóp tứ giác đều, nên mặt phẳng `(CSO)` và mặt phẳng `(CSB)` là hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Do đó, góc phẳng nhị diện` [C,SO,B]` là góc vuông.

THAM KHẢO:

Kẻ SM⊥BC

Mà BC⊥SO nên BC⊥(SOM). Suy ra BC⊥OM

Do đó góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy là \(\widehat{SMO}\)

Ta có: SO=98;OM=\(\dfrac{1}{2}\).180=90

tan \(\widehat{SMO}\)=\(\dfrac{SO}{OM}\)=1,1. Suy ra \(\widehat{SMO}\)=\(47,4^O\)

Vậy góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy là \(^{47,4^O}\)

a) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(BCD)$ là góc giữa đường thẳng AB và một đường thẳng nằm trên mặt phẳng $(BCD)$ và // $BC$ hoặc $CD$. Vì ABCD là tứ diện đều, nên các cạnh của nó đều song song và bằng nhau.

=> AB//CD

Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) là góc vuông.

b) Góc phẳng nhị diện [A,CD,B] là góc giữa mặt phẳng $(ACD)$ và mặt phẳng $(BCD)$. Vì $ABCD$ là tứ diện đều, nên mặt phẳng `(ACD)` ⊥ mặt phẳng $(BCD)$.

Do đó, góc phẳng nhị diện$ [A,CD,B] $là góc vuông.

Tương tự, góc phẳng nhị diện $[A,CD,E] $cũng là góc vuông.

a) Kẻ \(C'H \bot OC\left( {H \in OC} \right)\)

 là hình chữ nhật \( \Rightarrow OH = O'C' = a,OO'\parallel C'H\)

Mà \(OO' \bot \left( {ABCDEF} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow C'H \bot \left( {ABCDEF} \right)\\ \Rightarrow \left( {CC',\left( {ABCDEF} \right)} \right) = \left( {CC',CH} \right) = \widehat {C'CH}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}HC = OC - O'C' = \frac{a}{2},C'H = OO' = a\\ \Rightarrow \tan \widehat {C'CH} = \frac{{C'H}}{{HC}} = 2 \Rightarrow \widehat {C'CH} \approx 63,{4^ \circ }\end{array}\)

Vậy \(\left( {CC',\left( {ABCDEF} \right)} \right) \approx 63,{4^ \circ }\)

b) Gọi \(M,M'\) lần lượt là trung điểm của \(AB,A'B'\).

\( \Rightarrow OM \bot AB,O'M' \bot A'B'\)

\(ABB'A'\) là hình thang cân \( \Rightarrow MM' \bot AB,MM' \bot A'B'\)

\( \Rightarrow \left[ {O,AB,A'} \right] = \widehat {OMM'},\left[ {O',A'B',A} \right] = \widehat {O'M'M}\)

Kẻ \(M'K \bot OM\left( {K \in OM} \right)\)

\(OO'M'K\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow OK = O'K' = \frac{{A'B'\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4},OO' = M'K = a\)

\(\begin{array}{l}OM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},MK = OM - OK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow \tan \widehat {OMM'} = \frac{{M'K}}{{MK}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {OMM'} \approx 66,{6^ \circ }\\ \Rightarrow \widehat {O'M'M} = {180^ \circ } - \widehat {OMM'} = 113,{4^ \circ }\end{array}\)