Bài tập cuối chương 8

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\Delta DEG \backsim \Delta MNP\) nên \(\widehat D = \widehat M,\,\,\widehat E = \widehat N,\,\,\widehat G = \widehat P\)

\( \Rightarrow \widehat D = \widehat M = 40^\circ \)

\( \to \) Chọn đáp án A.

b) Theo câu a) ta có \(\widehat E = \widehat N = 60^\circ \)

\( \to \) Chọn đáp án C.

c) Xét tam giác MNP có:

\(\begin{array}{l}\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \\ \Rightarrow 40^\circ  + 60^\circ  + \widehat P = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat P = 80^\circ \end{array}\)

\( \to \) Chọn đáp án D.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì \(\Delta DEG \backsim \Delta MNP\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{{DG}}{{MP}} = \frac{{EG}}{{NP}}\\ \Rightarrow \frac{{DG}}{{MP}} = \frac{{EG}}{{NP}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{4}{{MP}} = \frac{{EG}}{6} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow MP = 8cm,\,\,EG = 3cm\end{array}\)

a) Chọn đáp án D

b) Chọn đáp án B

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì BMNP là hình bình hành nên \(NP\parallel AB\)\(,\,\,MN = BP,\,\,BM = PN\)

\( \Rightarrow \frac{{NP}}{{AB}} = \frac{{CP}}{{CB}}\) (Định lý Thales)

Ta có: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{BP}}{{BC}}\)

Khi đó: \(\frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{NP}}{{AB}} = \frac{{BP}}{{BC}} + \frac{{CP}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\) (đpcm)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì AI là đường phân giác của góc DAB nên \(\frac{{ID}}{{IB}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (Tính chất đường phân giác)

Vì CI là đường phân giác của góc BCD nên \(\frac{{ID}}{{IB}} = \frac{{CD}}{{CB}}\) (Tính chất đường phân giác)

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{CB}} \Rightarrow AB.CD = AD.BC\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì M và P lần lượt là trung điểm của AB và AN nên MP là đường trung bình của tam giác ABN.

\( \Rightarrow MP\parallel BN\) hay \(MP\parallel BC\).

Mà ABCD là hình bình hành nên \(AD\parallel BC\)

\( \Rightarrow MP\parallel AD\)

Ta có: \(MP = \frac{1}{2}NB\)

Mà N là trung điểm BC nên \(NB = \frac{1}{2}BC\)

\( \Rightarrow MP = \frac{1}{4}BC \Rightarrow MP = \frac{1}{4}AD\)

b) Vì \(MP\parallel AD\) nên \(\frac{{MP}}{{AD}} = \frac{{QP}}{{AQ}}\) (Định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{{QP}}{{AQ}} = \frac{1}{4} \Rightarrow AQ = 4QP\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(QP = AP - AQ = \frac{1}{2}AN - AQ\) (P là trung điểm AN)

Thay vào (1) ta được \(AQ = 4.\left( {\frac{1}{2}AN - AQ} \right)\)

\( \Rightarrow AQ = 2AN - 4AQ \Rightarrow 5AQ = 2AN \Rightarrow AQ = \frac{2}{5}AN\) (đpcm)

c) Vì M và R lần lượt là trung điểm của AB và CD nên \(MR\parallel AD,\,\,MR = AD\)

Mà ta đã chứng minh \(MP\parallel AD\) nên ba điểm M, P, R thẳng hàng.

Theo câu a) ta có \(MP = \frac{1}{4}AD \Rightarrow MP = \frac{1}{4}MR\)

\( \Rightarrow PR = \frac{3}{4}MR \Rightarrow PR = \frac{3}{4}AD\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) theo tỉ số đồng dạng \(k\) nên \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = k;\,\,\widehat B = \widehat {B'}\)

Mà AM và A’M’ lần lượt là trung tuyến của hai tam giác ABC và A’B’C’ nên M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BM = \frac{1}{2}BC;\,\,B'M' = \frac{1}{2}B'C'\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BM}}{{B'M'}} = k\end{array}\)

Xét tam giác ABM và tam giác A’B’M’ có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BM}}{{B'M'}}\) và \(\widehat B = \widehat {B'}\)

\( \Rightarrow \Delta ABM \backsim \Delta A'B'M'\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{A'M'}} = \frac{{BM}}{{B'M'}} = k\)

b) Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) theo tỉ số đồng dạng \(k\) nên \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = k;\,\,\widehat B = \widehat {B'}\)

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}\)
Vì AD và A’D’ lần lượt là phân giác của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ nên ta có \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) và \(\frac{{D'B'}}{{D'C'}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}}\)

\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{D'B'}}{{D'C'}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{D'B'}} = \frac{{DC}}{{D'C'}} = \frac{{DB + DC}}{{D'B' + D'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\)

Mà \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\) (chứng minh ở câu a) nên \(\frac{{DB}}{{D'B'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}}\)

Xét tam giác ABD và tam giác A’B’D’ có:

\(\frac{{BD}}{{B'D'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}}\) và \(\widehat B = \widehat {B'}\)

\( \Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta A'B'D'\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{A'D'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = k\)

c) Ta có \(\widehat B = \widehat {B'}\) và \(\widehat {AHB} = \widehat {A'H'B'} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta ABH \backsim \Delta A'B'H'\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AH}}{{A'H'}} = k\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác AMN và tam giác ABC có:

\(\widehat {AMN} = \widehat {ABC}\) và \(\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta AMN \backsim \Delta ABC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 2}} = \frac{6}{{6 + 3}}\\ \Leftrightarrow 9x = 6\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 9x = 6x + 12\\ \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)

b) Vì \(\widehat H = \widehat E\) mà hai góc này so le trong nên \(GH\parallel EF\)

Theo hệ quả của định lý Thales:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{GH}}{{EF}} = \frac{{GD}}{{FD}} = \frac{{HD}}{{ED}} \Rightarrow \frac{z}{{7,8}} = \frac{y}{9} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \frac{z}{{7,8}} = \frac{1}{3} \Rightarrow z = 2,6\\ \Rightarrow \frac{y}{9} = \frac{1}{3} \Rightarrow z = 3\end{array}\)

c) Ta thấy IK là đường phân giác của \(\widehat {ILJ}\)

\( \Rightarrow \frac{{JK}}{{KL}} = \frac{{IJ}}{{IL}} \Rightarrow \frac{t}{3} = \frac{{2,4}}{{3,6}} = \frac{2}{3} \Rightarrow t = 2\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại B có: \(\widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 90^\circ \)

Xét tam giác BHC vuông tại H có:

\(\begin{array}{l}\widehat {HBC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {HBC} + \widehat {BCA} = 90^\circ \end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {HBC} = \widehat {BAC}\) hay \(\widehat {HBC} = \widehat {BAH}\)

Xét tam giác HAB và tam giác HBC có:

\(\widehat {BAH} = \widehat {CBH}\) và \(\widehat {BHA} = \widehat {CHB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta HAB \backsim \Delta HBC\)

b) Vì \(\Delta HAB \backsim \Delta HBC\) nên

\(\begin{array}{l}\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{HB}}{{HC}}\\ \Rightarrow H{B^2} = HA.HC\\ \Rightarrow H{B^2} = 4.9 = 36\\ \Rightarrow HB = 6cm\end{array}\)

Ta chứng minh được \(\Delta HAD \backsim \Delta HDC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{HA}}{{HD}} = \frac{{HD}}{{HC}}\\ \Rightarrow H{D^2} = HA.HC\\ \Rightarrow H{D^2} = 4.9 = 36\\ \Rightarrow HD = 6cm\end{array}\)

Vậy \(HB = HD = 6cm\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác AIH và tam giác AHB có:

\(\widehat {AIH} = \widehat {AHB} = 90^\circ ,\,\,\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta AIH \backsim \Delta AHB\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow A{H^2} = AI.AB\) (1)

Xét tam giác AKH và tam giác AHC có:

\(\widehat {AKH} = \widehat {AHC} = 90^\circ ,\,\,\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta AKH \backsim \Delta AHC\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow A{H^2} = AK.AC\,\,\left( 2 \right)\)       

Từ (1) và (2) ta có: \(A{H^2} = AB.AI = AC.AK\)

b) Theo câu a ta có \(AB.AI = AC.AK \Rightarrow \frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AC}}{{AI}}\)

Xét tam giác ABC và tam giác AKI có:

 \(\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AC}}{{AI}},\,\,\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta AKI\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {AIK} = \widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {AIK} = \widehat {ACH}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì \(MP\parallel BQ\) nên ta có \(\frac{{MP}}{{BQ}} = \frac{{AP}}{{AQ}}\) (Định lý Thales)                                                                                                     

Vì \(PN\parallel QC\) nên ta có \(\frac{{PN}}{{QC}} = \frac{{AP}}{{AQ}}\) (Định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{BQ}} = \frac{{PN}}{{QC}} = \frac{{AP}}{{AQ}}\)

b) Vì \(MP\parallel QC\) nên \(\frac{{MP}}{{QC}} = \frac{{IP}}{{IQ}}\) (Hệ quả của định lý Thales)

Vì \(PN\parallel BQ\) nên \(\frac{{PN}}{{BQ}} = \frac{{IP}}{{IQ}}\) (Hệ quả của định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{QC}} = \frac{{PN}}{{BQ}} = \frac{{IP}}{{IQ}}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)