Bài tập cuối chương 5

Hướng dẫn giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 3;0;4} \right)\) và đi qua \(A\left( { - 3;0;0} \right)\) nên \(IA\) là một bán kính của \(\left( S \right)\). Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}}  = 4\).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\).

Suy ra đáp án đúng là C.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $(\mathrm{ABC})$ là:
$$
\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1 \Leftrightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-1=0
$$

Thay tọa độ điểm $D$ vào phương trình mặt phẳng $(\mathrm{ABC})$ ta được:
$$
-2+1-1-1=-3 \neq 0 \text { nên } D \notin(A B C) \text {. }
$$

Do đó $A, B, C, D$ không đồng phẳng.
Suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{A B}=(-1 ; 1 ; 0)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng CD nhận $\overrightarrow{C D}=(-2 ; 1 ;-2)$ làm vectơ chỉ phương.
$$
\cos (A B, C D)=\frac{|(-1) \cdot(-2)+1 \cdot 1+0 \cdot(-2)|}{\sqrt{(-1)^2+1^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+1^2+(-2)^2}}=\frac{3}{3 \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}
$$

Suy ra $(A B, C D)=45^{\circ}$.
c) Có $\overrightarrow{B C}=(0 ;-1 ; 1), \overrightarrow{C D}=(-2 ; 1 ;-2),[\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C D}]=(1 ;-2 ;-2)$.

Mặt phẳng $(\mathrm{BCD})$ đi qua $\mathrm{B}(0 ; 1 ; 0)$ và nhận $\vec{n}=[\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C D}]=(1 ;-2 ;-2)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $\mathrm{x}-2(\mathrm{y}$ $-1)-2 z=0 \Leftrightarrow x-2 y-2 z+2=0$.

Đường cao của hình chóp $A . B C D$ chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng (BCD).
Ta có $d(A,(B C D))=\frac{|1+2|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=1$

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{B C}=(-1 ; 2 ;-7), \overrightarrow{B D}=(0 ; 4 ;-6),[\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B D}]=(16 ;-6 ;-4)$

Mặt phẳng $(B C D)$ đi qua $\mathrm{B}(1 ; 0 ; 6)$ và nhận $\vec{n}=\frac{1}{2}[\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B D}]=(8 ;-3 ;-2)$ có phương trình là $8(\mathrm{x}-1)-3 \mathrm{y}-2(\mathrm{z}-6)=0$ $\Leftrightarrow 8 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-2 \mathrm{z}+4=0$.

Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (BCD) ta được:
$$
\text { 8. }(-2)-3.6-2.3+4=-36 \neq 0 \text {. }
$$

Do đó $A \notin(B C D)$. Suy ra $A B C D$ là một tứ diện.
b) Ta có $A H=d(A,(B C D))=\frac{|8 .(-2)-3.6-2.3+4|}{\sqrt{8^2+(-3)^2+(-2)^2}}=\frac{36}{\sqrt{77}}$.
c) Ta có $\overrightarrow{A B}=(3 ;-6 ; 3)$ và $\overrightarrow{C D}=(1 ; 2 ; 1),[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}]=(-12 ; 0 ; 12)$.

Mặt phẳng (a) đi qua $\mathrm{A}(-2 ; 6 ; 3)$ và nhận $\vec{n}=-\frac{1}{12}[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}]=(1 ; 0 ;-1)$ có phương trình là $(\mathrm{x}+2)-(\mathrm{z}-3)=0 \Leftrightarrow \mathrm{x}-\mathrm{z}+$ $5=0$.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in là \(d = \frac{{\left| {0.3 + 0.4 + 1.24 - 4} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 20\) (cm).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Do \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên \(OH \bot \left( Q \right)\), suy ra \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).

Ta có \(\vec n = \left( {1; - 1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Suy ra \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {45^o}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Dựa vào hình vẽ, ta có \(A\left( {70;0;0} \right)\), \(B\left( {70;0; - 60} \right)\), \(C\left( {70;80;0} \right)\) và \(D\left( {50;0;0} \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;0; - 60} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {0;80;0} \right)\) nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( {ABC} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4800;0;0} \right)\). Ta suy ra \(\vec i = \left( {1;0;0} \right) = \frac{1}{{4800}}\overrightarrow {{n_1}} \) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\left( {ABC} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(1\left( {x - 70} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0\), hay \(x - 70 = 0\).

Mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AC}  = \left( {0;80;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AD}  = \left( { - 20;0;0} \right)\) nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( {ACD} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0;0;1600} \right)\). Ta suy ra \(\vec k = \left( {0;0;1} \right) = \frac{1}{{1600}}\overrightarrow {{n_2}} \) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\left( {ACD} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) là \(0\left( {x - 70} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0\), hay \(z = 0\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {0;80;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\). Ta suy ra vectơ \(\vec j = \left( {0;1;0} \right) = \frac{1}{{80}}\overrightarrow {AC} \) cũng là một vectơ chỉ phương của \(AC\)

Vậy phương trình tham số của \(AC\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 70 + 0t\\y = 0 + t\\z = 0 + 0t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 70\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).

d) Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\left( {ABC} \right)\) là

\(d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.60 + 0.40 - 70} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 70.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy rằng các điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(C\left( {0;6;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;4} \right)\) lần lượt thuộc các trục toạ độ \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\), nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AC} \right)\) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{4} = 1\), hay \(6x + 2y + 3z - 12 = 0\).

b) Ta có vectơ \(\overrightarrow {CO'}  = \left( {0; - 6;4} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(CO'\), nên phương trình đường thẳng \(CO'\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 0t\\y = 6 - 6t\\z = 0 + 4t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6 - 6t\\z = 4t\end{array} \right.\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(OB'\) và \(O'B\). Ta thấy rằng \(I\) là trung điểm của \(OB'\) và \(O'B\).

Tứ giác \(O'A'BC\) là hình chữ nhật (tứ giác đó là hình bình hành, và hai đường chéo của tứ giác đó cũng là hai đường chéo của hình hộp chữ nhật), nên suy ra \(I\) cũng là trung điểm của \(A'C\). Chứng minh tương tự, ta có \(I\) là trung điểm của \(AC'\).

Vậy ta có điểm \(I\) cách đều 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật, nên \(I\) chính là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua 8 đỉnh đó.

Ta có\(A\left( {2;0;0} \right)\), \(C\left( {0;6;0} \right)\) nên \(B\left( {2;6;0} \right)\).

Ta có \(I\) là trung điểm của \(O'B\) nên \(I\left( {1;3;2} \right)\).

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = OI = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {2^2}}  = \sqrt {14} \)

Vậy phương trình mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp là

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 14\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có

\(M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\), \(M{B^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\), \(M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\)

Do \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\), nên

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\)

\( \Rightarrow  - 2x + 1 = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {x^2} + 2x - 1 + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 0\)

\( \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\).

Vậy điểm \(M\) thuộc mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 .\)

(Trả lời bởi datcoder)