Cho mặt phẳng (P): x + 2y + 3z – 1 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
A. \(\overrightarrow{n_1}=\left(1;3;-1\right)\). B. \(\overrightarrow{n_2}=\left(2;3;-1\right)\). C. \(\overrightarrow{n_3}=\left(1;2;-1\right)\). D. \(\overrightarrow{n_4}=\left(1;2;3\right)\).
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng (Oyz)?
A. y = 0. B. x = 0. C. y – z = 0. D. z = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiMặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) đi qua gốc toạ độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec i = \left( {1;0;0} \right)\).
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(1\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0\), hay \(x = 0\).
Vậy đáp án đúng là B.
(Trả lời bởi datcoder)
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −3) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) = (1; −2; 3)?
A. x – 2y + 3z – 12 = 0.
B. x – 2y – 3z + 6 = 0.
C. x – 2y + 3z + 12 = 0.
D. x – 2y – 3z – 6 = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiPhương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 2;3} \right)\) là \(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\), hay \(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
Vậy đáp án đúng là C.
(Trả lời bởi datcoder)
Cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A(1; −2; 3). Khoảng cách từ A đến (P) bằng
A. \(\dfrac{5}{\sqrt{29}}\). B. \(\dfrac{5}{29}\). C. \(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\). D. \(\dfrac{5}{9}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiKhoảng cách từ điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 4y + 2z + 4 = 0\) là \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
Vậy đáp án đúng là A.
(Trả lời bởi datcoder)
Cho ba mặt phẳng (α): x + y + 2z + 1 = 0, (β): x + y – z + 2 = 0 và (γ): x – y + 5 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. (α) \(\perp\) (β). B. (γ) \(\perp\) (β). C. (α) // (β). D. (α) \(\perp\) (γ).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCác vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\), \(\left( \gamma \right)\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) = 0\), suy ra \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_3}} = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 0\), suy ra \(\left( \gamma \right) \bot \left( \beta \right)\).
Ta có \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{{ - 1}}\), suy ra \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) không song song với nhau.
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}} = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + 2.0 = 0\), suy ra \(\left( \alpha \right) \bot \left( \gamma \right)\).
Vậy đáp án cần chọn là C.
(Trả lời bởi datcoder)
Cho đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{1}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ?
A. $\overrightarrow{u_1}=(2 ; 1 ;-3)$.
B. $\overrightarrow{u_2}=(-2 ;-1 ; 3)$.
c. $\overrightarrow{u_3}=(-1 ; 2 ; 1)$.
D. $\overrightarrow{u_4}=(-1 ; 2 ;-1)$.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có phương trình của đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}\), nên đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( { - 1;2;1} \right)\).
Vậy đáp án đúng là C.
(Trả lời bởi datcoder)
Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=3 t \\ z=-2+t\end{array}\right.$ ?
A. $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-2}{1}$.
B. $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{1}$.
C. $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-2}{-2}$.
D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{-2}$.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiDựa vào phương trình tham số, đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;0; - 2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;3;1} \right)\).
Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}\).
Vậy đáp án đúng là B.
(Trả lời bởi datcoder)
Cho đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2 t \\ y=-t \\ z=-2-t\end{array}\right.$. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với d ?
A. $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=3 t^{\prime} \\ y=1+t^{\prime} \\ z=5 t^{\prime}\end{array}\right.$
B. $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=2+t^{\prime} . \\ z=1+t^{\prime}\end{array}\right.$
C. $d_3: \frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-5}$.
D. $d_4: \frac{x+2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}$.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCác vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\), \({d_1}\), \({d_2}\), \({d_3}\), \({d_4}\) lần lượt là \(\vec a = \left( {2; - 1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {3;1;5} \right)\), \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( {0;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {{a_3}} = \left( {3;2; - 5} \right)\), \(\overrightarrow {{a_4}} = \left( {2; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\vec a.\overrightarrow {{a_1}} = 2.3 + \left( { - 1} \right).1 + \left( { - 1} \right).5 = 0\), suy ra \(d \bot {d_1}\).
Ta có \(\vec a.\overrightarrow {{a_2}} = 2.0 + \left( { - 1} \right).1 + \left( { - 1} \right).1 = - 2 \ne 0\), suy ra \(d\) không vuông góc với \({d_2}\).
Ta có \(\vec a.\overrightarrow {{a_3}} = 2.3 + \left( { - 1} \right).2 + \left( { - 1} \right).\left( { - 5} \right) = 9 \ne 0\), suy ra \(d\) không vuông góc với \({d_3}\).
Ta có \(\vec a.\overrightarrow {{a_4}} = 2.2 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2 = 3 \ne 0\), suy ra \(d\) không vuông góc với \({d_4}\).
Vậy đáp án đúng là A.
(Trả lời bởi datcoder)
Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – z – 3 = 0 và (Q): x – z – 2 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCác vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).0 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {30^o}\).
Vậy đáp án đúng là A.
(Trả lời bởi datcoder)
Cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 9. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) là
A. I(−1; 2; 1) và R = 3.
B. I(1; −2; −1) và R = 3.
C. I(−1; 2; 1) và R = 9.
D. I(1; −2; −1) và R = 9.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\), suy ra \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 9 = 3\).
Vậy đáp án đúng là A.
(Trả lời bởi datcoder)