Bài tập cuối chương 2

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow a  = \overrightarrow u  - 4\overrightarrow v  - 2\overrightarrow w  = (2; - 5;3) - 4(0;2; - 1) - 2(1;7;2) = (0; - 27;3)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi \(M(x;y;z)\)

\(\overrightarrow {MB}  = (1 - x;2 - y;3 - z)\), \(\overrightarrow {MC}  = (1 - x; - 2 - y; - 5 - z)\)

Ta có: MB = 3MC => \(\overrightarrow {MA}  =  - 3\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x =  - 3(1 - x)\\2 - y =  - 3( - 2 - y)\\3 - z =  - 3( - 5 - z)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\\z =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M(1; - 1; - 3)\)

\(\overrightarrow {AM}  = (1; - 2; - 5) \Rightarrow AM = \sqrt {1 + {{( - 2)}^2} + {{( - 5)}^2}}  = \sqrt {30} \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \({(|\overrightarrow u  + \overrightarrow v |)^2} = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\overrightarrow v  + {\overrightarrow v ^2} = 1 + 2.|\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u  + \overrightarrow v ) + 1 = 1 + 2.2.4.\cos 60^\circ  + 1 = 10\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {OB}  = (0; - 2;3)\)

Gọi H(x;y;z) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác OAB

=> \(\overrightarrow {OH}  = (x;y;z)\)

\(\overrightarrow {OH} \) cùng phương với \(\overrightarrow {OB} \) nên \(x = 0;y =  - 2t;z = 3t\) => \(H(0; - 2t;3t)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AH}  = ( - 1; - 2t - 2;3t + 1)\)

\(\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {OB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow  - 1.0 - 2.( - 2t - 2) + 3.(3t + 1) = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{7}{{13}}\)

Vậy \(H(0;\frac{{14}}{{13}};\frac{{ - 21}}{{13}})\)

b) \(\overrightarrow {AH}  = ( - 1; - \frac{{12}}{{13}}; - \frac{8}{{13}}) \Rightarrow AH = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - \frac{{12}}{{13}})}^2} + {{( - \frac{8}{{13}})}^2}}  = \frac{{\sqrt {377} }}{{13}}\)

\(\overrightarrow {OB}  = (0; - 2;3) \Rightarrow OB = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \)

Diện tích tam giác OAB: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}AH.OB = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {377} }}{{13}}.\sqrt {13}  = \frac{{\sqrt {29} }}{2}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm của tứ diện đều ABCD.
Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{G A}, \vec{b}=\overrightarrow{G B}, \vec{c}=\overrightarrow{G C}, \vec{d}=\overrightarrow{G D}$
Ta có $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{d}|$ và $\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{a} \cdot \vec{d}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{d}=\vec{c} \cdot \vec{d}$
Ta có $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$
$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})^2=0 \\
& \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{a}}^2+\overrightarrow{\mathrm{b}}^2+\overrightarrow{\mathrm{c}}^2+\overrightarrow{\mathrm{d}}^2+2 \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~b}}+2 \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+2 \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~d}}+2 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+2 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~d}}+2 \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~d}}=0 \\
& \Rightarrow 4 \vec{a}^2+12 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \\
& \Rightarrow \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a}^2}=-\frac{1}{3} \\
& \Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b})=-\frac{1}{3} \\
& \Rightarrow(\vec{a}, \vec{b}) \approx 109,5^{\circ}
\end{aligned}
$$

Vậy góc liên kết gần bằng $109,5^{\circ}$.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(3\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.300 = x\\3.200 = y\\3.400 = z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 900\\y = 600\\z = 1200\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow b  = (900;600;1200)\)

 b) Tốc độ của máy bay B là: \(|\overrightarrow b | = \sqrt {{{900}^2} + {{600}^2} + {{1200}^2}}  \approx 1615,55km/h\)

(Trả lời bởi datcoder)