Bài 6. Vectơ trong không gian

Hướng dẫn giải

Quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B là: \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD'} \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD. Do đó, O là trung điểm của BD, O là trung điểm của AC.

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo BD là \(a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Gọi E là trung điểm của SC. Mà O là trung điểm của AC nên OE là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, OE//SA, \(OE = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\). Suy ra: \(\overrightarrow {AS}  = 2\overrightarrow {OE} \)

Vì O là trung điểm của BD nên \(\overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {OB} \)

Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBC. Do đó, \(EB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(O{E^2} + O{B^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} = E{B^2}\) nên \(\Delta \)EOB vuông tại O. Do đó, \(\overrightarrow {OE}  \bot \overrightarrow {OB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {OE} .\left( { - 2\overrightarrow {OB} } \right) =  - 4\overrightarrow {OE} .\overrightarrow {OB}  = 0\)

Tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BA}  =  - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB}  =  - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AB} } \right) =  - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \widehat {SAB}\)

Vì tam giác SAB có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SAB đều, suy ra \(\widehat {SAB} = {60^0}\)

Suy ra: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD}  =  - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \widehat {SAB} =  - a.a.\cos {60^0} = \frac{{ - {a^2}}}{2}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD và \(AB = CD\). Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.

Vì AB và SC chéo nhau nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {SC} \) không cùng phương. Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {SC} \) không bằng nhau.

Vì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) không cùng phương nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) không bằng nhau.

b) Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Tứ giác ABNM có: AB//MN, AM//BN nên tứ giác ABNM là hình bình hành. Do đó, \(AB = MN\), lại có: AB//MN nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AB} \) cùng độ dài và cùng hướng. Suy ra, \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB} \). Vậy điểm N cần tìm là giao điểm của đường thẳng qua M song song với AB và cạnh BC.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow {MN}  = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right)\)

Vì lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên A lớn nhất khi \(\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right)\) lớn nhất. Do đó, \(\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right) = {0^0}\) . Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.

Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật. 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Các vectơ biểu diễn hai lực đó có độ dài bằng nhau và hướng của chúng là ngược nhau.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Các đoạn thẳng này có hướng lên trên (về phía móc cần cẩu) và độ dài của các đoạn thẳng thể hiện cho độ lớn của các lực căng dây và được lấy tỉ lệ với độ lớn của các lực căng dây.

b) Các đoạn thẳng này không cùng nằm trên một mặt phẳng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Trong các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AD'} \), hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD)

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(AD = DC = DD'\)

Tam giác ADD’ vuông tại D nên theo định lý Pythagore ta có:

\(AD' = \sqrt {A{D^2} + DD{'^2}}  = AD\sqrt 2 \)

Tam giác ADC vuông tại D nên theo định lý Pythagore ta có:

\(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}}  = AD\sqrt 2 \)

 Do đó, \(AD' = AC\) hay \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD'} } \right|\). Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD'} \) có cùng độ dài.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà là \(\overrightarrow a \). Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 22 lên tầng 29 của tòa nhà là \(\overrightarrow b \).

Vì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều dịch chuyển từ tầng thấp lên tầng cao nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có cùng hướng (1).

Độ dài vectơ \(\overrightarrow a \) là: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 7\), độ dài vectơ \(\overrightarrow b \) là: \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 7\) nên \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 7\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b \). Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\), AB//CD. Suy ra \(BM = DN\) (vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD) và BM//DN. Do đó, tứ giác DMBN là hình bình hành, do đó, \(BN = DM\) và BN//DM. Hai vectơ \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {DM} \) có cùng độ dài và ngược hướng nên \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {DM} \) là hai vectơ đối nhau.

b) Theo a ta có: \(\overrightarrow {BN}  =  - \overrightarrow {DM} \)

Do đó, \(\overrightarrow {SD}  - \overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {SD}  + \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {SM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {SC} \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì B’BAA’ là hình chữ nhật nên \(BB' = AA' = DD' = 4 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BB'} } \right| = 4\)

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên tam giác BAD vuông tại A.

Do đó, \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \) (định lí Pythagore), suy ra: \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \sqrt {13} \)

Vì BB’D’D là hình chữ nhật nên tam giác DD’B vuông tại D

Theo định lí Pythagore ta có: \(BD' = \sqrt {B{D^2} + DD{'^2}}  = \sqrt {13 + {4^2}}  = \sqrt {29}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BD'} } \right| = \sqrt {29} \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)