Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

Hướng dẫn giải

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.

Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x).

Thể tích của khối tròn xoay này là:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Hình \({H_1}\) được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 1 và đồ thị hàm số y = f(x).

Hình \({H_2}\) được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = f(x).

Hình \({H_3}\) được giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, x = 3 và đồ thị hàm số y = f(x).

b) \({S_{{H_1}}} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{13}}{{12}}\).

\(\int\limits_1^2 {f(x)dx = \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} } dx \)

\(= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = - \frac{5}{{12}} \Rightarrow {S_{{H_2} = }}\frac{5}{{12}}\).

\({S_{{H_3}}} = \int\limits_2^3 {f(x)dx = \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} } dx\)

\(= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_2^3 = \frac{{37}}{{12}}\).

c) \({S_H} = {S_{{H_1}}} + {S_{{H_2}}} + {S_{{H_3}}} \)

\( = \int\limits_0^1 {f(x)dx} + \left| {\int\limits_1^2 {f(x)dx} } \right| + \int\limits_2^3 {f(x)dx} = \int\limits_0^3 {\left| {f(x)} \right|dx} \).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 2x\), trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 3 là:

\(\int\limits_{ - 1}^3 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} + \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} \)

\( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {\left[ { - \left( {{x^2} - 2x} \right)} \right]dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \)

\( = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^0}\\{_{ - 1}}\end{array}} \right. - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_0}\end{array}} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_2}\end{array}} \right.\)

\( = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^0}\\{_{ - 1}}\end{array}} \right. - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_0}\end{array}} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_2}\end{array}} \right.\)

\( = - \left[ {\frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} - {{( - 1)}^2}} \right] - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right) + \left[ {\left( {\frac{{{3^3}}}{3} - {3^2}} \right) - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right)} \right]\)

\( = \frac{4}{3} - \left( { - \frac{4}{3}} \right) + \frac{4}{3} = 4\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(S = {S_1} - {S_2}\).

b) \(S = {S_1} - {S_2}\).

\(\int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx} = \int\limits_1^2 {{2^x}dx} - \int\limits_1^2 {xdx} = {S_1} - {S_2}\).

Vậy \( S = \int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx} \).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(10 - {x^2} > {x^2} + 2\) với mọi \(x \in [ - 2;2]\).

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = 10 - {x^2}\), \(y = {x^2} + 2\) và hai đường thẳng x = -2, x = 2 là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {(10 - {x^2}) - ({x^2} + 2)} \right|dx} \)

\( = \int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {(10 - {x^2}) - ({x^2} + 2)} \right]dx} \)

\( = \int\limits_{ - 2}^2 {(8 - 2{x^2})dx} = \left( {8x - \frac{{2{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_{ - 2}}\end{array}} \right.\)

\( = \left( {8.2 - \frac{{{{2.2}^3}}}{3}} \right) - \left[ {8.( - 2) - \frac{{2.{{( - 2)}^3}}}{3}} \right]\)

\( = \frac{{32}}{3} - \left( { - \frac{{32}}{3}} \right) = \frac{{64}}{3}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Tham khảo

a) \(S\left(x\right)=1\)

b)

Thể tích khối lập phương \(V=1\)

\(\int\limits^1_0S\left(x\right)dx=\int\limits^1_01dx=1\)

Vậy thể tích khối lập phương là \(\int\limits^1_0S\left(x\right)dx\)

(Trả lời bởi Mai Trung Hải Phong)

Hướng dẫn giải

Tham khảo

Thể tích của vật thể đã cho là:

\(V=\int\limits^2_1S\left(x\right)dx=\int\limits^2_12xdx=x^2|^2_1=2^2-1^2=3\)

(Trả lời bởi Mai Trung Hải Phong)

Hướng dẫn giải

Thể tích khối chóp cụt đều đó là:

\(\int\limits_a^b {S(x)dx} = \int\limits_a^b {B\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}dx} = B\frac{{{x^3}}}{{3{b^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = B\frac{{{b^3}}}{{3{b^2}}} - B\frac{{{a^3}}}{{3{b^2}}} = \frac{B}{{3{b^2}}}({b^3} - {a^3})\)

\( = B.\frac{{b - a}}{3}.\frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{b - a}}{3}.B\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{a}{b} + 1} \right)\).

Vì \(B' = B\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\) hay \(\frac{{B'}}{B} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\) và h = b – a nên:

\(V = \frac{h}{3}.B\left( {\frac{{B'}}{B} + \sqrt {\frac{{B'}}{B}} + 1} \right) = \frac{h}{3}\left( {B + \sqrt {BB'} + B'} \right)\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số y = f(x) chính là phương trình của nửa đường tròn có tâm O, bán kính r.

\( \Rightarrow y = f(x) = \sqrt {{r^2} - {x^2}} \).

b) \(S(x) = \pi {f^2}(x)\).

\(V = \frac{{4\pi {r^3}}}{3}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Thể tích hình khối đó là:

\(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx} = \frac{\pi }{2}(x - \sin x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{2}}}\\{_0}\end{array}} \right.\)

\( = \frac{\pi }{2}\left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - \sin \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {0 - \sin 0} \right)} \right] = \frac{{{\pi ^2}}}{4} - \frac{\pi }{2}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)