Question

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = \(\sin\dfrac{x}{2}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, \(x=\dfrac{\pi}{2}\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Answer 1

Thể tích hình khối đó là:

\(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx} = \frac{\pi }{2}(x - \sin x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{2}}}\\{_0}\end{array}} \right.\)

\( = \frac{\pi }{2}\left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - \sin \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {0 - \sin 0} \right)} \right] = \frac{{{\pi ^2}}}{4} - \frac{\pi }{2}\).