a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: \(2;4;8;16;32;64\).
b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:
i) \(3;6;12;24;48\).
ii) \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}}\).
iii) \(2; - 6;18; - 54;162; - 486\).
a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: \(2;4;8;16;32;64\).
b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:
i) \(3;6;12;24;48\).
ii) \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}}\).
iii) \(2; - 6;18; - 54;162; - 486\).
Cho ba số tự nhiên \(m,n,p\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiBa số tự nhiên \(m,n,p\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: \(2n = m + p\).
Ta có: \(2n = m + p \Leftrightarrow {2^{2n}} = {2^{m + p}} \Leftrightarrow {\left( {{2^n}} \right)^2} = {2^m}{.2^p}\).
Vậy ba số \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)
Một quốc gia có dân số năm 2011 là \(P\) triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng \(a\% \). Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGiả sử dân số của quốc gia đó từ năm 2011 đến năm 2021 là dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = P\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = P\\{u_2} = {u_1} + {u_1}.\frac{a}{{100}} = {u_1}.\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\{u_3} = {u_2} + {u_2}.\frac{a}{{100}} = {u_2}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\{u_4} = {u_3} + {u_3}.\frac{a}{{100}} = {u_3}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\ \vdots \\{u_{11}} = {u_{10}} + {u_{10}}.\frac{a}{{100}} = {u_{10}}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\end{array}\)
Vậy dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân với công bội \(q = 1 + \frac{a}{{100}}\).
(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)
Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phim Sol và Si lần lượt là 415 Hz và 466 Hz (theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Đô_(nốt nhạc)). Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảiTần số của phím La là:
\(\sqrt{415\cdot466}\simeq440\left(Hz\right)\)
(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\). Tính \({u_2},{u_3},{u_4}\) và \({u_{10}}\) theo \({u_1}\) và \(q\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có:
\(u_2=u_1.q\\ u_3=u_2.q=\left(u_1.q\right).q=u_1.q^2\\ u_4=u_3.q=\left(u_1.q^2\right).q=u_1.q^3.\\ .\\ .\\ .\\ u_{10}=u_1.q^9\)
(Trả lời bởi Mai Trung Hải Phong)
Viết công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) theo số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) của các cấp số nhân sau:
a) \(5;10;20;40;80;...\)
b) \(1;\frac{1}{{10}};\frac{1}{{100}};\frac{1}{{1000}};\frac{1}{{10000}};...\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = 2\).
Vậy ta có: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {5.2^{n - 1}}\)
b) Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\).
Vậy ta có: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 1.{\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{10}^{n - 1}}}}\).
(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)
Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa (theo; https://vi.wikipedia.org/wiki/Poloni-210). Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau:
a) 690 ngày
b) 7314 ngày (khoảng 20 năm).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiDãy số chỉ khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau \(n\) chu kì là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 20\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
a) Sau 690 ngày thì số chu kì bán rã thực hiện được là: \(690:138 = 5\) (chu kì).
Vậy khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 là: \({u_5} = {u_1}.{q^4} = 20.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = 1,25\) (gam).
b) Sau 7314 ngày thì số chu kì bán rã thực hiện được là: \(7314:138 = 53\) (chu kì).
Vậy khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 là: \({u_{53}} = {u_1}.{q^{52}} = 20.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{52}} \approx 44,{4.10^{ - 16}}\) (gam).
(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
a) So sánh \(q.{S_n}\) và \(\left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n}\).
b) So sánh \({u_1} + q.{S_n}\) và \({S_n} + {u_1}.{q^n}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có:
\(q.{S_n} = q.\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = {u_1}.q + {u_2}.q + ... + {u_n}.q = \left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n}\)
b) Ta có:
\({u_1} + q.{S_n} = {u_1} + \left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n} = {S_n} + {u_1}.{q^n}\)
(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)
Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) trong các trường hợp sau:
a) \({u_1} = {10^5};q = 0,1;n = 5\);
b) \({u_1} = 10;{u_2} = - 20;n = 5\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{{{10}^5}\left( {1 - {{\left( {0,1} \right)}^5}} \right)}}{{1 - 0,1}} = 111110\).
b) Ta có: \({u_2} = {u_1}.q \Leftrightarrow - 20 = 10.q \Leftrightarrow q = - 2\)
\({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{10\left( {1 - {{\left( { - 2} \right)}^5}} \right)}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 110\).
(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)
Trong bài toán ở Hoạt động mở đầu đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTheo đề bài ta có dãy số chỉ độ cao của quả bóng là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 120\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên là:
\({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{120\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 239,765625\left( {cm} \right)\).
(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)