Bài 2: Tích phân

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {6{x^5}dx}  = 6.\frac{{{x^6}}}{6} + C = {x^6} + C\)

Chọn \(F\left( x \right) = {x^6}\), khi đó \(I = \int\limits_0^2 {6{x^5}dx}  = \left. {{x^6}} \right|_0^2 = {2^6} - {0^6} = 64\).

b) \(J = \int\limits_0^2 {{x^5}} dx = \left. {\frac{{{x^6}}}{6}} \right|_0^6 = \frac{{{2^6}}}{6} - \frac{{{0^6}}}{6} = \frac{{32}}{3}\).

c) Ta thấy rằng \(6J = 6.\frac{{32}}{3} = 64 = I\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx}  = 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^7}dx}  = 4\left. {\left( {\frac{{{x^8}}}{8}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = 4\left[ {\frac{{{1^8}}}{8} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^8}}}{8}} \right] = 0\).

b) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx}  = \frac{{ - 3}}{{10}}\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{1}{x}dx}  = \frac{{ - 3}}{{10}}\left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = \frac{{ - 3}}{{10}}\left( {\ln \left| { - 1} \right| - \ln \left| { - 2} \right|} \right) = \frac{{3\ln 2}}{{10}}\)

c) \(\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}dx}  = \int\limits_0^2 {\frac{{{5^x}}}{{2.5}}dx}  = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^2 {{5^x}dx}  = \frac{1}{{10}}.\left. {\left( {\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right)} \right|_0^2 = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{{{5^2}}}{{\ln 5}} - \frac{{{5^0}}}{{\ln 5}}} \right) = \frac{{12}}{{5\ln 5}}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx}  = \int {{x^2}dx}  + \int {{e^x}dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C\)

Chọn \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}\).

Suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} + {e^1}} \right) - \left( {\frac{{{0^3}}}{3} + {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)

b) Ta có \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {{e^x}dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{0^3}}}{3}} \right) + \left( {{e^1} - {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)

c) Dựa vào câu a và b, ta suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}} dx = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx}  - \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2}}}dx}  = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx}  - \int\limits_1^2 {{x^{ - 2}}dx}  = \left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 - \left. {\left( {\frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}}} \right)} \right|_1^2\)

\( = \left( {\ln 2 - \ln 1} \right) - \left( {\frac{{{2^{ - 1}}}}{{ - 1}} - \frac{{{1^{ - 1}}}}{1}} \right) = \ln 2 + \frac{3}{2}\)

b) \(\int\limits_0^\pi  {\left( {1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx}  = \int\limits_0^\pi  {\left( {1 + 1 - \cos x} \right)dx}  = \int\limits_0^\pi  {\left( {2 - \cos x} \right)dx}  = 2\int\limits_0^\pi  {dx}  - \int\limits_0^\pi  {\cos xdx} \)

\( = 2\left. {\left( x \right)} \right|_0^\pi  - \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_0^\pi  = 2\left( {\pi  - 0} \right) - \left( {\sin \pi  - \sin 0} \right) = 2\pi \)

c) \(\int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx}  + \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 4x - {x^2}} \right]dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^2} - 4x + 4 + 4x - {x^2}} \right)dx} } \)

\( = \int\limits_{ - 2}^1 {4dx}  = \left. {4x} \right|_{ - 2}^1 = 4.1 - 4\left( { - 2} \right) = 12\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Do nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần, nên ta có \(P\left( 0 \right) =  - 25\).

Lợi nhuận khi nhà máy bán 90 tân sản phẩm là:

\(P\left( {90} \right) = \left[ {P\left( {90} \right) - P\left( 0 \right)} \right] + P\left( 0 \right) = \int\limits_0^{90} {P'\left( x \right)dx}  + P\left( 0 \right) = \int\limits_0^{90} {\left( {16 - 0,02x} \right)dx}  - 25\)

\( = \left( {16\int\limits_0^{90} {dx}  - 0,02\int\limits_0^{90} {xdx} } \right) - 25 = 16\left. {\left( x \right)} \right|_0^{90} - 0,02\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{90} = 16\left( {90 - 0} \right) - 0,02\left( {\frac{{{{90}^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = 1359\) (triệu đồng)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^2 {2xdx}  = 2\int\limits_0^2 {xdx}  = 2\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = 4\)

\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {2xdx}  + \int\limits_1^2 {2xdx}  = 2\left( {\int\limits_0^1 {xdx}  + \int\limits_1^2 {xdx} } \right) = 2\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2} \right]\)\( = 2\left[ {\left( {\frac{{{1^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{1^2}}}{2}} \right)} \right] = 4\)

Vậy \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx}  - \int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx}  + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} \)

\( = 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^3}dx}  - 5\int\limits_{ - 1}^1 {dx}  = \left. {\left( {{x^4}} \right)} \right|_{ - 1}^1 - 5\left. {\left( x \right)} \right|_{ - 1}^1 = \left[ {{1^4} - {{\left( { - 1} \right)}^4}} \right] - 5\left[ {1 - \left( { - 1} \right)} \right] =  - 10\)

b) \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx}  + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx}  + \int\limits_1^3 {\left( {x - 1} \right)dx}  = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^3\)

\( = \left[ {\left( {1 - \frac{{{1^2}}}{2}} \right) - \left( {0 - \frac{{{0^2}}}{2}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{3^2}}}{2} - 3} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} - 1} \right)} \right] = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)

c)  \(\int\limits_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left( { - \cos x} \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\cos xdx}  = \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \)

\( = \left( {\sin \frac{\pi }{2} - \sin 0} \right) - \left( {\sin \pi  - \sin \frac{\pi }{2}} \right) = 2\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi \(s\left( t \right)\) (km) là quãng đường ca nô đi được đến thời điểm \(t\) (phút).

Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là \(s\left( {20} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt}  + \int\limits_2^{15} {v\left( t \right)dt}  + \int\limits_{15}^{20} {v\left( t \right)dt} \)

\( = \int\limits_0^2 {0,5tdt}  + \int\limits_2^{15} {dt}  + \int\limits_{15}^{20} {\left( {4 - 0,2t} \right)dt}  = 0,5\left. {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( t \right)} \right|_2^{15} + \left. {\left( {4t - 0,1{t^2}} \right)} \right|_{15}^{20}\)

\(0,5\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) + \left( {15 - 2} \right) + \left[ {\left( {4.20 - 0,{{1.20}^2}} \right) - \left( {4.15 - 0,{{1.15}^2}} \right)} \right] = 16,5\) (km)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = \int\limits_0^2 {{x^2}dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{0^3}}}{3} = \frac{8}{3}\)

b) Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) là \(S = \int\limits_1^3 {\frac{1}{x}dx}  = \left. {\left( {\ln x} \right)} \right|_1^3 = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\int\limits_1^2 {{x^4}dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{{2^5}}}{5} - \frac{{{1^5}}}{5} = \frac{{31}}{5}\)

b) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx}  = \int\limits_1^2 {{x^{ - \frac{1}{2}}}dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{{2^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} - \frac{{{1^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} = 2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\)

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \left. {\left( {\tan x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \tan \frac{\pi }{4} - \tan 0 = 1\)

d) \(\int\limits_0^2 {{3^x}dx}  = \left. {\left( {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{{3^2}}}{{\ln 3}} - \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} = \frac{8}{{\ln 3}}\)

(Trả lời bởi datcoder)