Question

a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x² + ex. Từ đó, tính \(\int\limits^1_0\left(x^2+e^x\right)dx\).

b) Tính \(\int\limits^1_0x^2dx+\int\limits^1_0e^xdx\).

c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?

Answer 1

a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx}  = \int {{x^2}dx}  + \int {{e^x}dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C\)

Chọn \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}\).

Suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} + {e^1}} \right) - \left( {\frac{{{0^3}}}{3} + {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)

b) Ta có \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {{e^x}dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{0^3}}}{3}} \right) + \left( {{e^1} - {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)

c) Dựa vào câu a và b, ta suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \).