Bài 18. Xác suất có điều kiện

Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê 2 × 2 như sau:

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó

a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;

b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.

Trở lại trò chơi "Ô cửa bí mật" trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3 .
Kí hiệu $\mathrm{E}_1$; $\mathrm{E}_2$; $\mathrm{E}_3$ tương ứng là các biến cố: "Sau ô cửa số 1 có ô tô"; "Sau ô cửa số 2 có ô tô"; "Sau ô cửa số 3 có ô tô" và H là biến cố: "Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa".
Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: $P\left(E_1 \mid H\right)$ và $P\left(E_2 \mid H\right)$.
a) Chứng minh rẳng:
$$
\begin{aligned}
& P\left(E_1\right)=P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)=\frac{1}{3} \\
& P\left(H \mid E_1\right)=\frac{1}{2} \text { và } P\left(H \mid E_2\right)=1
\end{aligned}
$$
b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_1 \mid \mathrm{H}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(H \mid E_1\right)}{P(H)} \\
& \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_2 \mid \mathrm{H}\right)=\frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(H \mid E_2\right)}{P(H)}
\end{aligned}
$$
c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:
$$
P\left(E_2 \mid H\right)=2 P\left(E_1 \mid H\right)
$$

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyến sang cửa chưa mở còn lại?
Hướng dẫn: Nếu $\mathrm{E}_1$ xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy $P\left(H \mid E_1\right)=\frac{1}{2}$.
Nếu $\mathrm{E}_2$ xảy ra, tức là sau cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chẳn phải mở cửa số 3 . Do đó, $\mathrm{P}(\mathrm{H}$ | $\left.E_2\right)=1$