Question

Trở lại trò chơi "Ô cửa bí mật" trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3 .
Kí hiệu $\mathrm{E}_1$; $\mathrm{E}_2$; $\mathrm{E}_3$ tương ứng là các biến cố: "Sau ô cửa số 1 có ô tô"; "Sau ô cửa số 2 có ô tô"; "Sau ô cửa số 3 có ô tô" và H là biến cố: "Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa".
Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: $P\left(E_1 \mid H\right)$ và $P\left(E_2 \mid H\right)$.
a) Chứng minh rẳng:
$$
\begin{aligned}
& P\left(E_1\right)=P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)=\frac{1}{3} \\
& P\left(H \mid E_1\right)=\frac{1}{2} \text { và } P\left(H \mid E_2\right)=1
\end{aligned}
$$
b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_1 \mid \mathrm{H}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(H \mid E_1\right)}{P(H)} \\
& \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_2 \mid \mathrm{H}\right)=\frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(H \mid E_2\right)}{P(H)}
\end{aligned}
$$
c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:
$$
P\left(E_2 \mid H\right)=2 P\left(E_1 \mid H\right)
$$

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyến sang cửa chưa mở còn lại?
Hướng dẫn: Nếu $\mathrm{E}_1$ xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy $P\left(H \mid E_1\right)=\frac{1}{2}$.
Nếu $\mathrm{E}_2$ xảy ra, tức là sau cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chẳn phải mở cửa số 3 . Do đó, $\mathrm{P}(\mathrm{H}$ | $\left.E_2\right)=1$

Answer 1

a) Vì chỉ có một chiếc ô tô đằng sau ba cánh cửa nên \(P\left( {{E_1}} \right) = P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right) = \frac{1}{3}\).

Nếu \({E_1}\) xảy ra, tức là sau cửa sổ 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\).

Nếu \({E_2}\) xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\).

b) Ta có: \(P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\),

\(P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\).

c) Vì \(P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\), \(P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\), \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\) nên \(P\left( {{E_2}|H} \right) = 2P\left( {{E_1}|H} \right)\) do đó người đó nên chuyển sang cửa còn lại.