Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.
Bài 18. Xác suất có điều kiện
Hoạt động 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 65)
Thảo luận (1)
Luyện tập 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 66)
Trở lại Ví dụ 1. Tính \(P\left(A\text{|}\overline{B}\right)\) bằng định nghĩa và bằng công thức.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCách 1: Bằng định nghĩa
Nếu \(\overline B \) xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen. Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{20}}{{29}}\).
Cách 2: Bằng công thức
Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó, \(n\left( \Omega \right) = 30.29\)
Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.
Do đó, \(n\left( {\overline B } \right) = 10.29\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 20 cách chọn một viên bi trắng. Do đó, \(n\left( {A\overline B } \right) = 10.20\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{10.20}}{{10.29}} = \frac{{20}}{{29}}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 66)
Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: \(P\left(\overline{A}\text{|}B\right)=P\left(\overline{A}\right)\) và \(P\left(A\text{|}\overline{B}\right)=P\left(A\right)\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTheo định nghĩa, \(P\left( {\overline A |B} \right)\) là xác suất của \(\overline A \), tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên \(\overline A \) và B cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra B không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(\overline A \). Do đó, \(P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)\).
Theo định nghĩa, \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\) là xác suất của A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố \(\overline B \) đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên A và \(\overline B \) cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra \(\overline B \) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A. Do đó, \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\).
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 68)
Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê 2 × 2 như sau:Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đóa) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi...
Đọc tiếp
Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê 2 × 2 như sau:
Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó
a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;
b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiKhông gian mẫu \(\Omega \) là tập hợp gồm 4 000 bệnh nhân thử nghiệm nên \(n\left( \Omega \right) = 4000\)
a) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc M”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”
Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc M và khỏi bệnh”
Ta có: \(1600 + 1200 = 2800\) người khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 2800\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{2800}}{{4000}}\)
Trong số những người khỏi bệnh, có 1 600 người uống thuốc M nên \(n\left( {AB} \right) = 1\;600\)
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{1600}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{1600}}{{2800}} = \frac{4}{7}\)
b) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc N”, B là biến cố “Người đó không khỏi bệnh”.
Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc N và không khỏi bệnh”
Ta có: \(800 + 400 = 1200\) người không khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 1200\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{1200}}{{4000}}\)
Trong số những người không khỏi bệnh, có 400 người uống thuốc N nên \(n\left( {AB} \right) = 400\)
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{400}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{400}}{{1200}} = \frac{1}{3}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 68)
Chứng minh rằng, với hai biến cố A và B, P(B) > 0, ta có:
P(AB) = P(B) ∙ P(A | B).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVới hai biến cố A và B, \(P\left( B \right) > 0\), ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\)
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 69)
Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:
a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;
b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi xanh”; B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi đen”.
Vì \(n\left( A \right) = 7\) nên \(P\left( A \right) = \frac{7}{{12}}\)
Nếu A xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi xanh thì trong hộp có 11 bút bi với 5 bút bi đen. Do đó, \(P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{11}}\)
Theo công thức nhân xác suất ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{12}}.\frac{5}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}\)
b) Dựa vào sơ đồ cây trong Ví dụ 4, xác suất để lấy ra hai bút có cùng màu là: \(\frac{5}{{12}}.\frac{4}{{11}} + \frac{7}{{12}}.\frac{6}{{11}} = \frac{{31}}{{66}}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Vận dụng (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 69)
Trở lại trò chơi Ô cửa bí mật trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3 .Kí hiệu $mathrm{E}_1$; $mathrm{E}_2$; $mathrm{E}_3$ tương ứng là các biến cố: Sau ô cửa số 1 có ô tô; Sau ô cửa số 2 có ô tô; Sau ô cửa số 3 có ô tô và H là biến cố: Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa.Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: $Pleft...
Đọc tiếp
Trở lại trò chơi "Ô cửa bí mật" trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3 .
Kí hiệu $\mathrm{E}_1$; $\mathrm{E}_2$; $\mathrm{E}_3$ tương ứng là các biến cố: "Sau ô cửa số 1 có ô tô"; "Sau ô cửa số 2 có ô tô"; "Sau ô cửa số 3 có ô tô" và H là biến cố: "Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa".
Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: $P\left(E_1 \mid H\right)$ và $P\left(E_2 \mid H\right)$.
a) Chứng minh rẳng:
$$
\begin{aligned}
& P\left(E_1\right)=P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)=\frac{1}{3} \\
& P\left(H \mid E_1\right)=\frac{1}{2} \text { và } P\left(H \mid E_2\right)=1
\end{aligned}
$$
b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_1 \mid \mathrm{H}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(H \mid E_1\right)}{P(H)} \\
& \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_2 \mid \mathrm{H}\right)=\frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(H \mid E_2\right)}{P(H)}
\end{aligned}
$$
c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:
$$
P\left(E_2 \mid H\right)=2 P\left(E_1 \mid H\right)
$$
Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyến sang cửa chưa mở còn lại?
Hướng dẫn: Nếu $\mathrm{E}_1$ xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy $P\left(H \mid E_1\right)=\frac{1}{2}$.
Nếu $\mathrm{E}_2$ xảy ra, tức là sau cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chẳn phải mở cửa số 3 . Do đó, $\mathrm{P}(\mathrm{H}$ | $\left.E_2\right)=1$
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Vì chỉ có một chiếc ô tô đằng sau ba cánh cửa nên \(P\left( {{E_1}} \right) = P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right) = \frac{1}{3}\).
Nếu \({E_1}\) xảy ra, tức là sau cửa sổ 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\).
Nếu \({E_2}\) xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\).
b) Ta có: \(P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\),
\(P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\).
c) Vì \(P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\), \(P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\), \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\) nên \(P\left( {{E_2}|H} \right) = 2P\left( {{E_1}|H} \right)\) do đó người đó nên chuyển sang cửa còn lại.
(Trả lời bởi datcoder)
Bài 6.1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 70)
Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTừ 1 đến 20 có số số chẵn là:
(Trả lời bởi Rái cá máu lửa)
'(20-2):2+1=10' (số)
Không gian mẫu: 10
Xác suất để người đó rút được thẻ số 10 là: '1/10'
Bài 6.2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 70)
Cho P(A) = 0,2; P(B) = 0,51; P(B | A) = 0,8. Tính P(A | B).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,8}}{{0,51}} = \frac{{16}}{{51}}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Bài 6.3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 70)
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm;
b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất thì số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\)
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”, B là biến cố “ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.
Khi đó biến cố AB là: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 và ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.
Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố A là: \(\left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;2} \right);\left( {6;1} \right)} \right\}\) nên \(n\left( A \right) = 6\). Do đó, \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}}\)
Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố B là:
\(\left\{ {\left( {1;5} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;5} \right)\left( {4;5} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right)} \right\}\) nên \(n\left( B \right) = 11\)
Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}\)
Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố AB là: \(\left\{ {\left( {2;5} \right);\left( {5;2} \right)} \right\}\) nên \(n\left( {AB} \right) = 2\)
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}}\)
a) Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{2}{{11}}\).
b) Vậy \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
(Trả lời bởi datcoder)