Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB (Hình 12).
a) So sánh các đoạn thẳng IM, IN, IP.
b) Đặt r = IM. Đường tròn (I; r) có phải là đường tròn nội tiếp tam giác ABC hay không? Vì sao?
Cho tam giác đều ABC cạnh a, ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm O (Hình 14).
a) AM, BN, CP có là các đường phân giác của tam giác ABC hay không?
b) Điểm O có là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC hay không?
c) Tính OM theo a.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Vì tam giác ABC đều nên ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng thời là ba đường phân giác.
b) Do O là giao của 3 đường phân giác trong tam giác ABC nên O cách đều 3 cạnh của tam giác, do đó OM = ON = OP.
Vậy đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
c) Xét tam giác ABC đều có đường trung tuyến AM nên \(BM = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và AM đồng thời là đường cao, do đó \(\widehat {AMB} = 90^\circ .\)
Xét tam giác AMB vuông tại M có:
\(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} \) (Pytago).
Nên \(AM = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\)
Mà \(OM = \frac{1}{3}AM\)(do AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC).
Suy ra \(OM = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 a}}{2} = \frac{{\sqrt 3 a}}{6}.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (O; 6). Tính AB.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Gọi độ dài cạnh của tam giác ABC là a (cm), suy ra AB = a (cm)
Đường tròn (O; 6) nội tiếp tam giác ABC nên:
\(r = \frac{a \sqrt 3}{6}\)
hay \(6 = \frac{a \sqrt 3}{6}\)
Suy ra \(a = 6: \frac{\sqrt 3}{6} = 12\sqrt 3\)
Vậy \(AB = 12\sqrt 3 .\)
(Trả lời bởi datcoder)
Trong các hình 15a, 15b, 15c, 15d ở hình nào ta có đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC? Ở hình nào ta có đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC? Vì sao?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải- Đường tròn ngoại tiếp tam giác: Hình 15a, 15d vì đường tròn (O) đi qua 3 đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
- Hình 15b: Đường tròn (O) đi qua 2 đỉnh A, B nhưng không đi qua đỉnh C của tam giác ABC nên (O) không ngoại tiếp tam giác ABC.
- Hình 15c: Đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, AC nhưng không tiếp xúc với cạnh BC của tam giác ABC nên (O) không nội tiếp tam giác ABC.
(Trả lời bởi datcoder)
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với AB = 5cm, AC = 12cm.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}(Pytago)\\B{C^2} = {5^2} + {12^2}\\B{C^2} = 169\\BC = 13cm\end{array}\)
Vì ABC vuông tại A nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC (định lý)
Vậy bán kính \(OB = OC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{13}}{2}cm.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều bằng 4cm. Tính cạnh của tam giác đều đó.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Gọi độ dài cạnh của tam giác ABC là a (cm), suy ra AB = a (cm)
Đường tròn (O; 4cm) nội tiếp tam giác ABC nên:
\(r = \frac{a \sqrt 3}{6}\)
hay \(4 = \frac{a \sqrt 3}{6}\)
Suy ra \(a = 4: \frac{\sqrt 3}{6} = 8\sqrt 3\)
Vậy cạnh của tam giác đều là \(8\sqrt 3 cm\)
(Trả lời bởi datcoder)
Một chiếc máy quay ở đài truyền hình được đặt trên giá đỡ 3 chân, các điểm tiếp xúc với mặt đất của 3 chân lần lượt là 3 đỉnh A, B, C của tam giác đều ABC (Hình 16). Tính khoảng cách giữa 2 vị trí A và B, biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 4 dm.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Giả sử tam giác ABC đều cạnh a(dm) nội tiếp đường tròn (O; 4dm), suy ra AB = a (dm)
Ta có: \(R = \frac{a \sqrt 3}{3}\)
hay \(4 = \frac{a \sqrt 3}{3}\)
Suy ra \(a = 4 : \frac{\sqrt 3}{3}\)
Vậy khoảng cách A và B là \(4\sqrt 3 dm.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:
a) \(BD \bot AB,CD \bot AC.\)
b) Tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) \(A{C^2} + B{H^2} = 4{R^2}.\)
d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
a) Vì góc $A B D$, góc $A C D$ đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$ (do $A D$ là đường kính của $(O)$ nên $\widehat{A B D}=\widehat{A C D}=90^{\circ}$.
Do đó $D B \perp A B$ và $C D \perp A C$.
b) Vì $H$ là trực tâm của $\triangle A B C$ nên $B H \perp A C$ và $C H \perp A B$.Lại có $C D \perp A C$ và $D B \perp A B$ (câu a) nên $B H / / C D$ và $C H / / B D$.
Xét tứ giác $B H C D$ có $B H / / C D$ và $C H / / B D$ nên $B H C D$ là hình bình hành.
c) Vì BHCD là hình bình hành nên $\mathrm{BH}=\mathrm{CD}$.Xét $\triangle A C D$ vuông tại $C$, theo định lí Pythagore, ta có:
$$
A D^2=A C^2+C D^2
$$Suy ra $(2 R)^2=A C^2+B H^2$
Hay $A C^2+B H^2=4 R^2$.
d) Vì BHCD là hình bình hành nên hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Mà $M$ là trung điểm của $B C$ nên $M$ cũng là trung điểm của $H D$, do đó ba điểm $H, M, D$ thẳng hàng.
(Trả lời bởi datcoder)
Lại có $A D$ là đường kính của đường tròn $(O)$ nên $O$ là trung điểm của $A D$.
Xét $\triangle A H D$ có $O, M$ lần lượt là trung điểm của $A B, H D$ nên $O M$ là đường trung bình của tam giác,
Do đó $O M=\frac{1}{2} A H$ hay $\mathrm{AH}=2 \mathrm{OM}$.
Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ACD lần lượt ngoại tiếp các đường tròn (I) và (K) sao cho hai đường tròn này cùng tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC. Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M, đường tròn (K) tiếp xúc với cạnh AD tại N (Hình 17). Chứng minh:
a) Ba điểm I, H, K thẳng hàng.
b) AM = AN.
c) \(\widehat {IAK} = \frac{1}{2}\widehat {BAD}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Do đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với đường thẳng AC tại H nên \(IH \bot AC\), suy ra \(\widehat {IHA} = 90^\circ .\)
Do đường tròn (K) nội tiếp tam giác ADC và tiếp xúc với đường thẳng AC tại H nên \(KH \bot AC\), suy ra \(\widehat {IHK} = 90^\circ .\)
Ta có: \(\widehat {IHA} + \widehat {AHK} = \widehat {IHK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \), nên I, H, K thẳng hàng.
b) Xét đường tròn (I) có hai tiếp tuyến AB, AC cắt nhau tại A nên AM = AH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét đường tròn (K) có hai tiếp tuyến AC, AD cắt nhau tại A nên AN = AH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra AM = AN ( = AH).
c) Xét đường tròn (I) có hai tiếp tuyến AB, AC nên AI là phân giác của góc BAC suy ra \(\widehat {IAH} = \frac{1}{2} \widehat {BAC}\)
Xét đường tròn (K) có hai tiếp tuyến AC, AD nên AK là phân giác của góc DAC suy ra \(\widehat {KAH} = \frac{1}{2} \widehat {DAC}\)
Ta có:
\(\widehat {IAK} = \widehat {IAH} + \widehat {KAH} \)
\(= \frac{1}{2} \widehat {BAC} + \frac{1}{2} \widehat {DAC}\)
\(= \frac{1}{2} (\widehat {BAC} + \widehat {DAC})\)
\(= \frac{1}{2}\widehat {BAD}.\)
Hay \(\widehat {IAK} = \frac{1}{2}\widehat {BAD}.\)
(Trả lời bởi datcoder)
