Question

Xác định hệ số a,b,c biết :

a) \(x^4-9x^3+ax^2+x+b\) chia hết cho \(x^2-x-2\)

b) \(x^3+ax+b\) chia cho \(x+1\) thì dư 7 và khi chia cho x-3 thì dư -5

c) \(ax^3+bx^2+c\) chia hết cho x+2 và chia cho \(x^2-1\) thì dư x+5

Answer 1

c)

Gọi đa thức \(ax^3+bx^2+c\) là \(f\left(x\right)\).

Theo bài ra \(f\left(x\right)⋮x+2\) , ta có phương trình:

\(f\left(-2\right)=-8a+4b+c=0\)(1)

Gọi \(Q\left(x\right)\) là thương của đa thức \(f\left(x\right)\) khi chia \(x^2-1\) được dư là \(x+5\). Ta có:

\(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx=\left(x^2-1\right).Q\left(x\right)+x+5\)(*)

Nghiệm của \(x^2-1\) là \(1\) và \(-1\). Thay nghiệm x=1 và x=-1 vào (*), ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a.\left(-1\right)^3+b\left(-1\right)^2+c=0.Q\left(x\right)+\left(-1\right)+5=4\\a.1^3+b.1^2+c=0.Q\left(x\right)+1+5=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a+b+c=4\left(2\right)\\a+b+c=6\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1), (2) và (3), ta có HPT:

\(\left\{{}\begin{matrix}-8a+4b+c=0\\-a+b+c=4\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\)

Giải HPT ta được:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=4\end{matrix}\right.\)

Vậy a=1;b=1 và c=4

Answer 2

b)

Gọi đa thức \(x^3+ax+b\) là \(f\left(x\right)\)

Gọi \(P\left(x\right)\) là thương khi chia đa thức \(f\left(x\right)\) cho \(x+1\) được dư 7.

Gọi \(Q\left(x\right)\) là thương khi chia đa thức \(f\left(x\right)\) cho \(x-3\) dư -5.

Theo bài ra ta có PT:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+ax+b=\left(x+1\right).P\left(x\right)+7\\x^3+ax+b=\left(x-3\right).Q\left(x\right)+\left(-5\right)\end{matrix}\right.\)(*)

Nghiệm của x+1 là -1 và nghiệm của x-3 là 3. Thay nghiệm x=-1 và x=3 vào (*) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-1\right)^3+a\left(-1\right)+b=0.P\left(x\right)+7=7\\3^3+a3+b=0.Q\left(x\right)-5=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1-a+b=-7\\27+3a+b=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a+b=8\\3a+b=-32\end{matrix}\right.\)

Giải HPT ta được:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-10\\b=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy a=-10, b=-2

Answer 3

a)

Gọi đa thức \(x^4-9x^3+ax^2+x+b\) là \(f\left(x\right)\), theo bài ra ta có HPT:

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=\left(-1\right)^4-9\left(-1\right)^3+a\left(-1\right)^2-1+b=0\\f\left(2\right)=2^4-9.2^3+a.2^2+2+b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=1+9+a-1+b=0\\f\left(2\right)=16-72+4a+2+b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=a+b=-9\\f\left(2\right)=4a+b=54\end{matrix}\right.\)

Giải HPT ta được:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=21\\b=-30\end{matrix}\right.\)

Vậy a=21, b=-30

Chúc bạn học thật tốt! ^^