Ta cần chứng minh: \(\left(x^2-y^2\right)^2\ge4xy\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)^2\ge4xy\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) Luôn đúng với mọi x,y
Vậy...
Giải hệ
a) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2y-6+2\sqrt{2y+3}=0\\\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+3\right)=3\left(x^2+y^2\right)+2\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2y+2y+x=4xy\\\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)
Với mọi x; y khác 0. CMR
\(P=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)+\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)\ge-\frac{5}{2}\)
1,tìm gtnn và gtln của biểu thức: P = x + 2y biết x, y thỏa mãn \(x^2+4y^2=25\)
2, tìm max :
A = \(-x^2-5y^2+4xy+12x+7\)
B = \(\sqrt{x-5}+\sqrt{23-x}+15\)
C = \(\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\)
Giúp mình với nha mọi người ơi !
Cho x,y,z > 0 Tìm GTNN của
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2+\dfrac{12}{\left(x+y\right)\sqrt{x+y+1}}+\dfrac{12}{\left(y+z\right)\sqrt{y+z+1}}\)
Giúp với ạ !!!
1. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+z=3\\x^2+y^2+z^2=5\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{x+y-2}{z+2}\) đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
2. Cho \(f\left(x\right)=2021x^2+\dfrac{6y^2}{2021}-4xy-\dfrac{y}{2021}+x+\dfrac{m^2}{2021}\)
Tìm m để \(f\left(x\right)>0\forall x,y\)
3. Cho hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x+1\right|\le1\\\dfrac{x}{m}< 1\end{matrix}\right.\) (m ≠ 0 là tham số thực)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bpt có đúng 3 nghiệm nguyên
Tìm tất cả các giá trị m để
a) \(m^2\left(x-2\right)-mx+x+5< 0\) đúng với mọi \(x\in\left[-2018;2\right]\)
b) \(m^2\left(x-2\right)+m+x\ge0\) có nghiệm \(x\in\left[-1;2\right]\)
Mọi người ơi giúp mình với
Câu 1: Cho x, y, z > 0 và \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\left(xy+yz+xz\right)\)Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(P=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Câu 2: Cho a, b, c >0 và \(\left\{{}\begin{matrix}ab+bc+ca>0\\a\ge c\end{matrix}\right.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(p=\frac{\left(a+b\right)}{\left(b+c\right)}+\frac{\left(b+c\right)}{\left(c+a\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{a\left(b+c\right)+c\left(b+a\right)}\)
1) Xét dấu của biểu thức \(f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)^5\left(2x+5\right)^{2014}}{x^9\left(-x+3\right)^{2015}}\)
2) Chứng minh rằng phương trình \(\left(m-1\right)x^2+\left(3m-2\right)x+3-2m=0\) luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của tham số m
3) Xác định tham số m để hàm số \(y=\sqrt{\frac{-2016x^4-1}{\left(m+1\right)x^2+2\left(m+1\right)x-m-3}}\) có tập xác định D = R
Cho các số thực x,y thỏa mãn \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=5\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\frac{3y^2+4xy+7x+4y-1}{x+2y+1}\)
