ta có:
\(\dfrac{a}{a^2+2b+3}=\dfrac{a}{a^2+1+2b+2}\le\dfrac{a}{2\left(a+b+1\right)}\)
tương tự như vậy ta chứng minh được các bđt tương tự, sau đó, cộng lại, ta được:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{c+a+1}\right)\)
áp dụng bđt bunhiacoxki. ta có:
\(\dfrac{a}{a+b+1}=\dfrac{a\left(a+b+c^2\right)}{\left(a+b+1\right)\left(a+b+c^2\right)}\le\dfrac{a\left(a+b+c^2\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\dfrac{a^2+ab+ac^2}{9}\)
tương tự như vậy ta chứng minh được các bđt tương tự, sau đó, cộng lại, ta được:
\(P\le\dfrac{1}{18}\left(\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(ac^2+ba^2+cb^2\right)\right)\)
ta có:
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2=3\)
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3.3=9\Rightarrow a+b+c\le3\)
\(ac^2+ba^2+cb^2=\sqrt{\left(a.c^2+b.a^2+c.b^2\right)^2}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\le\sqrt{3.3}=3\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{18}\left(3+3+3\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
