Question

Vẽ hình chữ nhật ABCD.Kẻ AN và CM vuông góc với BD(M, N thuộc Z) a) CM tứ giác ANCM là hình bình hành b)Gọi K là điểm đối xứng của A qua N.CM tứ giác MNKC là hình chữ nhật c) Vẽ tia AM cắt KC tại P.CM các đường thẳng PN, AC, KM đồng quy d) CM nếu CD^2=3AD^2 thì AD=DK=CK

Answer 1

$a) ABCD$ là hình chữ nhật \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=BC\\\widehat{D_1}=\widehat{B_1}\end{matrix}\right.\)

Xét $\Delta ADN$ và $\Delta CBM$ có:

\(\widehat{AND}=\widehat{CMB}=90^o\) (do \(AN\perp BD;CM\perp BD\))

$AD=CB$

$\widehat{D_1}=\widehat{B_1}$

$\Rightarrow \Delta ADN = \Delta CBM (ch-gn)$

$\Rightarrow AN=CM (1)$

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AN\perp BD\\CM\perp BD\end{matrix}\right.\Rightarrow AN||CM\left(2\right)\)

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow ANCM$ là hình bình hành

Answer 2

$b) AN||MC \RightarrowNK||MC (3)$

$A$ đối xứng $K$ qua $N \Rightarrow N$ là trung điểm $AK$

$\Rightarrow AN=NK$

Mà $AN=CM$

$\Rightarrow NK=CM(4)$

Từ $(3)$ và $(4) \Rightarrow MNKC$ là hình bình hành

$\widehat{MNK}=90^o \Rightarrow MNKC$ là hình chữ nhật

Answer 3

c/BN vuông góc AK và AN=NK nên BN là đ/trung trực AK suy ra AM=MK(1)

Tương tự: CM vuông góc KP và KC=CP nên CM là đ/trung trực KP suy ra MK=MP(2)

Từ (1) và (2) suy ra M là tđ AP(3)

Lại có CM//AK ( cùng vuông góc BD)(4)

(3) và (4) suy ra C là tđ KP

Tgiac AKP có M,N,C là tđ AP,AK,KP nên các đường trung tuyến PN,AC,KM đồng quy

d/Tgiác DBC vuông có đ/cao CM nên ta có các hệ thức( dễ dàng CM bằng cách xét tgiac đồng dạng)

\(CD^2=DM.BD,AD^2=BD.BM\Leftrightarrow3AD^2=BD.3BM\)

Vì \(CD^2=3AD^2\Rightarrow DM=3BM\)(1)

Dễ dàng CM \(\Delta ADN=\Delta CBM\left(g-c-g\right)\Rightarrow DN=MB\)

(1)\(\Leftrightarrow DN+MN=2BM+BM\Leftrightarrow MN=2BM\left(DN=BM\right)\)

Suy ra MN=CK=2BM( MNKC là hcn)

Cho điểm O trên BD sao cho M là tđ BO

Lại có CM là vuông góc BO nên tgiac Cân tại C suy ra

Answer 4

Ko cần phải vẽ hình đâu nha