Lời giải:
\(u_{n+1}=\frac{n+2}{2^{n+2}}\left(\frac{2}{1}+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+2}{2^{n+1}}\left(\frac{2^{n+1}}{n+1}u_n+\frac{2^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+2}{2n+2}(u_n+1)\)
Ta chứng minh $u_n\geq 1(*)$ với mọi $n=1,2,...$
Thật vậy:
$u_1=1; u_2=\frac{3}{2}>1$. Giả sử $(*)$ đúng đến $n=k$
$u_{k+1}=\frac{k+2}{2k+2}(u_k+1)>\frac{2(k+2)}{2k+2}>1$
Do đó $u_n\geq 1$ với mọi $n=1,2,...$
Tiếp theo ta chứng minh $u_n< 1+\frac{4}{n}(**)$ với mọi $n=1,2,...$
Thật vậy:
$u_1=1< 1+\frac{4}{1}$
$u_2=\frac{3}{2}< 1+\frac{4}{2};....;u_4=\frac{5}{3}<1+\frac{4}{4}$
....
Giả sử $(**)$ đúng đến $n=k\geq 5$. Khi đó:
\(u_{k+1}=\frac{k+2}{2k+2}(u_k+1)<\frac{k+2}{2k+2}(2+\frac{4}{k})=\frac{(k+2)^2}{k(k+1)}\)
\(\frac{(k+2)^2}{k(k+1)}-(1+\frac{4}{k+1})=\frac{(k+2)^2-k(k+5)}{k(k+1)}=\frac{4-k}{k(k+1)}<0\) với mọi $k\geq 5$
$\Rightarrow u_{k+1}< 1+\frac{4}{k+1}$. Phép quy nạp hoàn tất.
Do đó $(**)$ đúng
Từ $(*); (**)\Rightarrow 1\leq u_n\leq 1+\frac{4}{n}$ với mọi $n=1,2,...$
Mà $\lim (1+\frac{4}{n})=1$ khi $n\to +\infty$ nên $\lim u_n=1$
