Question

Từ trung điểm K cạnh BC của tam giác vuông ABC vuông tại A, kẻ đưởng thẳng vuong góc với AK, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở D và E. Gọi I là trung điểm của DE

a/ Chứng minh AI ⊥ BC

b/ Có thể nói DE nhỏ hơn BC được ko? vì sao?

Answer 1

a)Gọi H là giao điểm của AI và BC

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có K là trung điểm BC

\(\Rightarrow KA=KB=KC\)

KA = KB

=> Tam giác KAB cân tại K

\(\Rightarrow\widehat{KAB}=\widehat{KBA}\)

Xét \(\Delta ADE\) vuông tại A có I là trung điểm DE

\(\Rightarrow IA=ID=IE\)

IA = ID

=> Tam giác IAD cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IAD}=\widehat{IDA}\)

\(\widehat{IAB}+\widehat{ABC}=\widehat{IDB}+\widehat{KAB}=90^0\)

Xét \(\Delta ABH\) có :

\(\widehat{IAB}+\widehat{ABC}=90^0\\ \Rightarrow\widehat{AHB}=90^0\\ \Rightarrow AI\perp BC\)

b)

Theo đề ta có :

\(AI\ge AK\\ \Rightarrow DI\ge KC\\ \Rightarrow2.DI\ge2.KC\\ \Rightarrow DE\ge BC\)

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC vuông cân tại A .