Question

tứ giác ABCD có 2 đường chéo bằng nhau và vuôn góc với nhau . gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA . hỏi tứ giác MNPQ là hình gì ? vì sao?

Answer 1

Xét ΔABD có

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

Do đó: MQ là đường trung bình

=>MQ//BD và MQ=BD/2(1)

Xét ΔBCD có

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

Do đó: NP là đường trung bình

=>NP//BD và NP=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AC và MN=AC/2

mà AC=BD

và MQ=BD/2

nên MN=MQ

Ta có: AC\(\perp\)BD

mà MN//AC

nên MN\(\perp\)BD

=>MN\(\perp\)MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MQ//NP

MQ=NP

Do đó: MNPQ là hình bình hành

mà MQ=MN

nên MNPQ là hình thoi

mà \(\widehat{QMN}=90^0\)

nên MNPQ là hình vuông