Cái bài này hay vậy sao ai gỡ xuống thế?
Gọi I là trung điểm của RP; K là giao điểm của RM với AB;H là giao điểm của MP với BC; N là giao điểm của MQ với AC. Trên tia đối của tia IM lấy điểm \(M_1\) sao cho \(IM=IM_1\)
Xét tứ giác \(RMPM_1\) ta có:
\(IM=IM_1\left(cmt\right);IR=IP\left(cmt\right)\)
Do đó tứ giác \(RMPM_1\) là hình bình hành(theo dấu hiệu nhận biết của hình bình hành)
\(\Rightarrow RM_1\text{//}MP\Rightarrow\widehat{MRM_1}+\widehat{RMP}=180^o\)
Mặt khác ta có: \(\widehat{RMP}+\widehat{ABC}=180^o\) (tứ giác KMHB có 2 góc vuông)
Do đó \(\widehat{MRM_1}=\widehat{ABC}\)
Vì \(RMPM_1\) là hình bình hành nên \(RM_1=MP\) mà \(MP=BC\Rightarrow RM_1=BC\)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta RMM_1=\Delta BAC\)
\(\Rightarrow\widehat{RMM_1}=\widehat{BAC}\left(cgtu\right)\)
Mặt khác tứ giác AKMN có \(\widehat{NAK}+\widehat{KMN}=180^o\)(tứ giác có hai góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{RMM_1}+\widehat{KMN}=180^o\)
Do đó \(MI;MQ\) là hai tia đối nhau
Suy ra \(QM\) là trung tuyến ứng với cạnh QM của tam giác QRP (1)
Hay M;I;Q thẳng hàng
Chứng minh tương tự ta được PM là trung tuyến ứng với cạnh QR của tam giác QRP (2)
Từ (1);(2) và M là giao điểm của QM với PM ta có: M là trọng tâm của tam giác QRP(đpcm)
