Question

Từ 1 điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB , AC và cát tuyến AMN của đường tròn đó . Gọi I là trung điểm của dây MN , H là giao điểm của AO và BC . Chứng minh

a, 5 điểm A,B,I,C,O cùng nằm trên 1 đường tròn

b, AB² = AM.AN và \(\widehat{AHM}\) = \(\widehat{ANO}\)

Answer 1

* Tự vẽ hình .

a) + Gọi O' là trung điểm của OA .

+ Ta có : AB là tiếp tuyến của (O) tại A ( gt)

=> AB \(\perp OB\) ( Tính chất tiếp tuyến của đường tròn )

=> \(\Delta ABO\) vuông tại O

Mà : O' là trung điểm của cạnh huyền OA

Nên : \(\Delta ABO\) nội tiếp ( O' ; \(\dfrac{OA}{2}\))

=> A,B,O \(\in\left(O';\dfrac{OA}{2}\right)\) (1)

+ Ta có : AC là tiếp tuyến của (O) tại C ( gt)

=> \(AC\perp OC\) ( Tính chất tiếp tuyến của đường tròn )

=> \(\Delta ACO\) vuông tại C

Mà O' là trung điểm của cạnh huyền OA

Nên : \(\Delta ACO\) nội tiếp (O';\(\dfrac{OA}{2}\))

=> A,C,O \(\in\left(O';\dfrac{OA}{2}\right)\) (2)

+ Ta có : MN là dây của (O) ; I là trung điểm của MN ( gt )

=> OI\(\perp MN\) tại I ( Định lý mối liên hệ giữa đường kính và dây cung )

=> Hay OI\(\perp AI\)

=> \(\Delta AOI\) vuông tại I

Mà : O' là trung điểm cạnh huyền OA

Nên : \(\Delta AOI\) nội tiếp (O';\(\dfrac{OA}{2}\))

=> A,O,I \(\in\left(O';\dfrac{OA}{2}\right)\) (3)

* Từ (1),(2) và (3) Suy ra :

A,B,I,C,O cùng thuộc (O';\(\dfrac{OA}{2}\))