\(\text{Chứng minh rằng: }\dfrac{2}{AK}=\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{AE}\)
➤➤➤ Chứng minh:
➤ Vì H là trung điểm của ED (gt) nên DE = 2HD
Ta có: \(\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{AE}=\dfrac{AE+AD}{AD\times AE}=\dfrac{\left(AD+DE\right)+AD}{AD\times AE}=\dfrac{2\left(AD+DH\right)}{AD\times AE}=\dfrac{2AH}{AD\times AE}\) (1)
➤ Xét ΔABD và ΔAEB có:
\(\widehat{A_1}\text{ chung}\)
\(\widehat{B_1}=\widehat{E_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{BD}\right)\)
⇒ ΔABD và ΔAEB (g - g)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AB^2=AD\times AE\) (2)
➤ Vì H là trung điểm của ED (gt) OH ⊥ ED
⇒ O, H, A, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA
\(\Rightarrow\widehat{H_1}=\widehat{C_1}\)
Mặt khác: 2 tiếp tuyến AB và AC của (O) cắt nhau tại A ⇒ AB = AC
⇒ ΔABC cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{ABC}\)
Suy ra: \(\widehat{H_1}=\widehat{ABK}\)
⇒ ΔABK và ΔAHB (g - g)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{AK}{AB}\)
\(\Rightarrow AB^2=AH\times AK\) (3)
➤➤ Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{AE}=\dfrac{2AH}{AH\times AK}=\dfrac{2}{AK}\left(đpcm\right)\)
