Trong mặt phẳng với hệ tọa độ OXY cho tam giác ABC vuông tại A và nội tiếp đường tròn (C) x2+y2- 6 x - 2y + 5 = 0 Gọi H là hình chiếu của A lên BC đường tròn đường kính AH cắt AB ,AC lần lượt tại M ,N Tìm tọa độ điểm A và viết phương trình cạnh BC biết đường thẳng MN ;20 x- 10y - 9 = 0 và điểm H có tung độ lớn hơn hoành độ
\(\left(17-3x\right)\sqrt{5-x}+\left(3y-14\right)\sqrt{4-y}\)
\(\Leftrightarrow\left(3\left(x-5\right)-2\right)\sqrt{5-x}=\left(3\left(y-4\right)-2\right)\sqrt{4-y}\)
\(\Leftrightarrow5-x=4-y\)
\(\Leftrightarrow y=x-1\)
Thế vô PT (2) ta được:
\(2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}=x^2+6x+13\)
Giải tiếp sẽ tìm được nghiệm 0, -1. Hướng đẫn: Dùng liên hợp hay đặt ẩn phụ đều được.
Gợi ý câu trên:
Gọi I là tâm đường tròn (C)
Dễ dàng chứng minh được AI vuông góc với NM
=> Phương trình AI lại có A thuộc (C) => Tìm được tọa độ A.
Gọi E là trung điểm của MN
=> E thuộc MN
=> E thuộc AH
Biểu diễn được H theo E
AH lại vuông góc với HI nên tìm được tọa độ của E => tọa độ của H. Có H có I thì viết được phương trình BC
biểu diển giùm anh Hùng Nguyễn nha .
\(ý_1\) : tìm tọa độ điểm \(A\)
nhìn vào phương trình đường tròn ta dể dàng thấy được tâm \(I\left(3;1\right)\)
như anh hùng đã nói rất dể dàng ta có chứng minh được \(NM\perp AI\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{u}_{MN}\perp\overrightarrow{AI}\) \(\Rightarrow\left(3-x_A\right)+2\left(1-y_A\right)\)
cộng với \(A\) thuộc đường tròn : \(\left(C\right)x^2+y^2-6x-2y+5=0\) ta được hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+2y_A=5\\x_A^2+y_A^2-6x_A-2y_A+5=0\end{matrix}\right.\) giải hệ bằng cách thế ta tìm đc 2 điểm \(A\) có tọa độ lần lược là : \(A_1\left(5;0\right)\) và \(A_2=\left(1;2\right)\)
\(ý_2\) : viết phương trình cạnh \(BC\)
đặc \(H\left(x;y\right)\) ta có \(\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{HI}\) \(\Rightarrow x^2+y^2-8x-y+15=0\) (1)
bắt trước tiến sỉ Hùng Nguyễn ta đặc \(E\) là trung điểm \(MN\)
ta có thể dể dàng chứng minh được tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\) \(E\) là trung điểm \(AH\)
TH1: \(A\left(5;0\right)\) \(\Rightarrow E\left(\dfrac{5+x}{2};\dfrac{y}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{5-\dfrac{5+x}{2}}{5-x}=\dfrac{-\dfrac{y}{2}}{-y}\Leftrightarrow y^2=\left(5-x\right)^2\) (2)
từ (1) và (2) ta có hpt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-8x-y+15=0\\y^2=\left(5-x\right)^2\end{matrix}\right.\) giải hệ ta được các cặp nghiệm . \(\left(5;0\right)\left(\dfrac{7}{2};\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{9}{2};\dfrac{-1}{2}\right)\) loại hết
TH2: \(A\left(1;2\right)\) \(\Rightarrow E\left(\dfrac{1+x}{2};\dfrac{2+y}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1-\dfrac{1+x}{2}}{1-x}=\dfrac{2-\dfrac{2+y}{2}}{2-y}\Leftrightarrow\left(1-x\right)^2=\left(2-y\right)^2\) (3)
từ (1) và (3) ta có hpt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-8x-y+15=0\\\left(1-x\right)^2=\left(2-y\right)^2\end{matrix}\right.\) giải hệ ta được các cặp nghiệm . \(\left(\dfrac{7}{2};\dfrac{-1}{2}\right)\left(3;0\right)\) loại hết
\(\Rightarrow\) không có phương trình đường thẳng \(BC\) thỏa mãn điều kiện bài toán
