Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2-mx-1=0\)
Giả sử M có hoành độ âm, N có hoành độ dương
Gọi \(M\left(a;a^2\right);N\left(b;b^2\right);A\left(a;0\right);B\left(b;0\right)\) với \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\ab=-1\end{matrix}\right.\) (1)
\(\Rightarrow OAM;OBN\) là các tam giác vuông, \(ABNM\) là hình thang vuông
\(S_{OMN}=S_{ABNM}-S_{OAM}-S_{OBN}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\left(b-a\right)-\frac{1}{2}a^2.\left(-a\right)-\frac{1}{2}b^2.b=2\)
\(\Leftrightarrow a^2b-a^3+b^3-ab^2+a^3-b^3=4\)
\(\Leftrightarrow a^2b-ab^2=4\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)=4\)
\(\Leftrightarrow b-a=4\)
Kết hợp với (1) ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\b-a=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\frac{m+4}{2}\\a=\frac{m-4}{2}\end{matrix}\right.\)
\(ab=-1\Leftrightarrow\left(\frac{m-4}{2}\right)\left(\frac{m+4}{2}\right)=-1\Leftrightarrow m^2-16=-4\)
\(\Leftrightarrow m^2=12\Rightarrow m=\pm2\sqrt{3}\)
