Question

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;1); B(4; -2). Tìm N thuộc trục hoành sao cho chu vi ΔABN là nhỏ nhất.

Answer 1

Lời giải:

Với $N$ thuộc trục hoành, gọi tọa độ điểm N là \((a,0)\)

Chu vi tam giác $ABN$: \(p=AB+AN+BN\)

$AB$ là một độ dài đã xác định do đã biết trước được tọa độ $A,B$

Do đó, để \(p_{\min}\Leftrightarrow (AN+BN)_{\min}\)

\(AN=\sqrt{(1-a)^2+1^2}\)

\(BN=\sqrt{(a-4)^2+2^2}\)

\(\Rightarrow AN+BN=\sqrt{(1-a)^2+1^2}+\sqrt{(a-4)^2+2^2}\)

Áp dụng BĐT Mincopxky:

\(AN+BN\geq \sqrt{(1-a+a-4)^2+(1+2)^2}=3\sqrt{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{1-a}{a-4}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=2\)

Vậy \(N(2;0)\)