Ta chứng minh công thức \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)(*)
Với n=1; n=2 (*) đúng
Giả sử (*) đúng với n=k khi đó (*) thành
\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Thật vậy giả sử (*) đúng với n=k+1 khi đó (*) thành
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\left(1\right)\)
Cần chứng minh (1) đúng, mặt khác ta lại có \(\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\)
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(\frac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=4\left(k+1\right)^3\)
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
a)Dựa vào công thức trên ta có:
\(B=1^3+2^3+...+100^3=\left[\frac{100\left(100+1\right)}{2}\right]^2=5050^2=25502500\)
b)\(G=1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
