ĐKXĐ: ...
Lần lượt trừ vế với vế của từng pt ta được hệ mới:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4x-1}\\y-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4y-1}\\x-y=\sqrt{4y-1}-\sqrt{4x-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-z=\frac{4\left(z-x\right)}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}\\y-z=\frac{4\left(z-y\right)}{\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}}\\x-y=\frac{4\left(y-x\right)}{\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-z\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}\right)=0\\\left(y-z\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}}\right)=0\\\left(x-y\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}}\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\)
Thay vào pt đầu:
\(2x=\sqrt{4x-1}\Leftrightarrow4x^2=4x-1\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
Cách 2: sử dụng BĐT
Ta có: \(1.\sqrt{4z-1}\le\frac{1}{2}\left(1+4z-1\right)=2z\)
\(\Rightarrow x+y\le2z\) (1)
Tương tự ta có: \(y+z\le2x\) (2) ; \(z+x\le2y\) (3)
Cộng vế với vế (1) và (2) \(\Rightarrow2y\le x+z\) (4)
Từ (3); (4) \(\Rightarrow2y=x+z\)
Hoàn toàn tương tự ta có: \(2z=x+y\) ; \(2x=y+z\)
\(\Rightarrow x=y=z\)
Thay vào pt ban đầu: \(2x=\sqrt{4x-1}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
