Question

Tìm x, y thỏa mãn: \(xy=x\sqrt{2y-4}+y\sqrt{2x-4}\)

Answer 1

Lời giải:

ĐK: $x,y\geq 2$

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:

\(x\sqrt{2y-4}=\sqrt{x^2.2(y-2)}=\sqrt{2x(xy-2x)}\leq \frac{2x+(xy-2x)}{2}=\frac{xy}{2}\)

\(y\sqrt{2x-4}=\sqrt{y^2.2(x-2)}=\sqrt{2y(xy-2y)}\leq \frac{2y+(xy-2y)}{2}=\frac{xy}{2}\)

Cộng theo vế:
\(x\sqrt{2y-4}+y\sqrt{2x-4}\leq xy\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x,y\geq 2\\ 2x=xy-2x\\ 2y=xy-2y\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=4\)