Question

Tìm x và y sao cho:

\(\sqrt{x+y-2}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{2}\)

Answer 1

Lời giải:

ĐK: \(x,y\geq 0; x+y\geq 2\)

Bình phương 2 vế thu được:

\(x+y-2=x+y+2+2\sqrt{xy}-2\sqrt{2x}-2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow -2=2+2\sqrt{xy}-2\sqrt{2x}-2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow 4+2\sqrt{xy}=2\sqrt{2x}+2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})-2-\sqrt{xy}=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{2}-\sqrt{y})+\sqrt{2}(\sqrt{y}-\sqrt{2})=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{2}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{2})=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{2}-\sqrt{y}=0\rightarrow y=2\\ \sqrt{x}-\sqrt{2}=0\rightarrow x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \((x,y)=(2,y)\) với $y\geq 0$ bất kỳ hoặc \((x,y)=(x,2)\) với $x\geq 0$ bất kỳ.