Question

Tìm x nguyên để biểu thức sau đạt giá trị nguyên lớn nhất:

G= \(\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\) (x ≥ 0; x ≠9)

Mọi người làm các bước rõ để mình dễ hiểu ạ. Camon mn:333

Answer 1

\(G=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right)+7}{\sqrt{x}-3}=2+\dfrac{7}{\sqrt{x}-3}\)

\(G\in Z\Leftrightarrow\dfrac{7}{\sqrt{x}-3}\in Z\)

Tại \(x\in N\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}\in N\\\sqrt{x}\in I\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3\in Z\\\sqrt{x}-3\in I\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\sqrt{x}-3\in I\) \(\Rightarrow\dfrac{7}{\sqrt{x}-3}\notin Z\forall x\) thỏa mãn đk

\(TH2:\sqrt{x}-3\in Z\).Để \(\dfrac{7}{\sqrt{x}-3}\in Z\) \(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\inƯ\left(7\right)=\left\{-1;1;-7;7\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{4;16;100\right\}\)

Tại x=4 =>G=-5

Tại x=16=>G=9

Tại x=100=>G=3

Vậy tại x=6 thì \(G_{max}\)=9

(I là số vô tỉ)

Answer 2

\(G=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right)+7}{\sqrt{x}-3}=2+\dfrac{7}{\sqrt{x}-3}\)

Để \(G\in Z\Rightarrow7⋮\sqrt{x}-3\Rightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{1;7;-1;-7\right\}\)

mà \(\sqrt{x}-3\ge-3\Rightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{1;7;-1\right\}\)

Để \(G_{max}\Rightarrow\dfrac{7}{\sqrt{x}-3}_{max}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3>0\\\sqrt{x}-3_{min}\end{matrix}\right.\Rightarrow\sqrt{x}-3=1\Rightarrow x=4\)

\(\Rightarrow G_{max}=5\)