\(x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+1-3xy\left(x+y\right)-3xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+1-3xy\left(x+y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)+1\right)-3xy\left(x+y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)+1-3xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)+1=3xy\) (do \(x+y+1>0\))
Mặt khác \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow3xy\le\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+1\right)+1\le\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)+4\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow x+y-2=0\)
\(\Rightarrow x+y=2\Rightarrow x=y=1\)
Hoặc 1 cách khác, áp dụng BĐT \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) cho 2 số dương:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)-3xy\le-1\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y-3\right)\le-1< 0\)
Do \(xy>0\Rightarrow x+y-3< 0\Rightarrow x+y< 3\)
Do x; y nguyên dương, ta chỉ có các trường hợp sau:
\(\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)
Thay các cặp vào pt đầu để thử, thấy chỉ có cặp \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\) thỏa mãn
