Question

Tìm số \(x\) nguyên để biểu thức \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\) nhận giá trị nguyên ?

 

Answer 1

\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên buộc \(\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\) nguyên

\(\Rightarrow\sqrt{x}-3\inƯ\left(4\right)\in\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{1;4;16;25;49\right\}\)

Vậy ......

Answer 2

Answer 3

\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

ĐK: x\(\ne\)0

\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)\(=\)\(\dfrac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}\)\(=\)1+\(\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để biểu thức đã cho nguyên thì \(\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\) nguyên. Tức là 4 phải chia hết cho \(\sqrt{x}-3\) hay \(\sqrt{x}-3\) là ước của 4.

\(\Rightarrow\) Ư (4) =\(\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) thỏa mãn ĐK: x\(\ne\) 0

Vậy để biểu thức \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\) nhận giá trị nguyên thì x =\(\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) .

Answer 4

ĐKXĐ: x \(\ge\) 0; x \(\ne\) 9

Ta có : \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)\(=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

*\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\in Z\Leftrightarrow\)\(1+\frac{4}{\sqrt{x}+3}\in Z\Leftrightarrow\frac{4}{\sqrt{x}+3}\in Z\)

*Với x \(\ge\) 0;x \(\ne\) 9;x \(\in\) Z

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}\in I\Rightarrow\sqrt{x}-3\in I\Rightarrow\frac{4}{\sqrt{x}-3}\notin Z\left(bỏ\right)\\\sqrt{x}\in Z\Rightarrow\sqrt{x}-3\in Z\Rightarrow\frac{4}{\sqrt{x}-3}\in Z\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

(1) \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-3\right)\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

Ta có bảng

\(\sqrt{x}-3\)	-1	1	-2	2	-4	4
\(\sqrt{x}\)	2	4	1	5	-1	7
\(x\)	4	16	1	25	\(\varnothing\)	49

Mà \(x\ge0;x\ne9;x\in Z\)

Vậy \(x\in\)\(\left\{4;16;1;25;49\right\}\)để\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)nhận giá trị nguyên

Answer 5

\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)(đkxđ:x\(\ne\)9 và x\(\ge\)0)

=\(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\frac{4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để bt trên nhận giá trị dương thì \(\sqrt{x}+3\inƯ\left(4\right)\left\{\pm1:\pm4\right\}\)

Với:\(\sqrt{x}-3=1\Rightarrow x=16\)

\(\sqrt{x}-3=-1\Rightarrow x=4\)

\(\sqrt{x}-3=4\Rightarrow x=49\)

\(\sqrt{x}-3=-4\left(loại\right)\)