Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}n+1=a^2\\4n+29=b^2\end{matrix}\right.\)
Do \(n\) là số tự nhiên có 2 chữ số nên \(10\le n\le99\)
\(\Rightarrow69\le4n+29\le425\)
\(\Leftrightarrow69\le b^2\le425\)
Mà \(b^2\) lẻ \(\Rightarrow b^2\in\left\{81;121;169;225;289;361\right\}\)
\(\Leftrightarrow4n+29\in\left\{81;121;169;225;289;361\right\}\)
\(\Leftrightarrow n\in\left\{13;23;35;49;65;83\right\}\)
\(\Leftrightarrow n+1\in\left\{14;24;36;50;66;84\right\}\)
Mà \(n+1\) chính phương nên \(n+1=36\Leftrightarrow n=35\)( thỏa )
Vậy...
Đặt n+1=k2(k thuộc N sao)
4n+29=m2(m thuộc N sao)
<=> 4(n+1)+25=m2
<=> 4k2-m2=-25
<=>(2k-m)(2k+m)=-25
mà 2k-m,2k+m \(\in N\) khác không
=> 2k-m \(\inƯ\left(-25\right)=\left\{\pm1,\pm5,\pm25\right\}\)
2k+m \(\inƯ\left(-25\right)\)
Ta có bảng sau:
| 2k-m | 1 | -1 | 5 | -5 | 25 | -25 |
| 2k+m | -25 | 25 | -5 | 5 | -1 | 1 |
| k | -6 | 6 | 0 | 0 | 6 | -6 |
| m | -13 | 13 | -5 | 5 | -13 | 13 |
| n | 35 | 35 | -1 | - 1 | 35 | 35 |
| Kết luận | thỏa mãn | thỏa mãn | ko t/m | ko t/m | t/m | t/m |
Vậy n=35
