Lời giải:
Ta có :
\(66m^2+9n^3-2008\equiv -2008\equiv 2\pmod 3\)
Do đó , ta có thể viết \(66m^2+9n^3-2008=3k+2\) (\(k\in\mathbb{N}\) )
Khi đó, \(A=3^{3k+2}+4=9.3^{3k}+4\)
Thấy rằng \(3^3\equiv 1\pmod {13}\Rightarrow 3^{3k}\equiv 1\pmod {13}\)
\(\Rightarrow 9.3^{3k}+4\equiv 9+4\equiv 0\pmod {13}\)
Do đó, \(A\vdots 13\). Để \(A\in\mathbb{P}\Rightarrow A=13\)
\(\Leftrightarrow 2^{66m^2+9n^3-2008}=9\Rightarrow 66m^2+9n^3-2008=2\)
\(\Leftrightarrow 22m^2+3n^3=670\)
\(\Rightarrow 22m^2=670-3n^2< 670\Leftrightarrow m^2<\frac{670}{22}\)
\(\Leftrightarrow m\leq 5\). Thử từ \(0\rightarrow 5\) ta thu được \((m,n)=(1,6)\)
Vậy cặp $(m,n)=(1,6)$ thỏa mãn
