Gọi số cần tìm là a, ta có:
a chia 11 dư 5 \(\Leftrightarrow a=11m+5\Rightarrow a+6=\left(11m+5\right)+6=11m+11=11\left(m+1\right)⋮11\left(m\in N\right)\)
Vì 77 chia hết cho 11 nên (a +6) +77 cũng chia hết cho 11 \(\Leftrightarrow a+83⋮11\left(1\right)\)
a chia 13 dư 8\(\Leftrightarrow a=13n+8\Rightarrow a+5=\left(13n+8\right)+5=13n+13=13\left(n+1\right)⋮11\left(n\in N\right)\)
Vì 78 chia hết cho 13 nên ( a + 5) + 78 cũng chia hết cho 13 \(\Leftrightarrow\) a + 83 cũng chia hết cho 13 (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) a + 83 chia hết cho BCNN ( 11; 13) \(\Leftrightarrow\) a + 83 chia hết cho 143
\(\Rightarrow a=134k-83\left(k\in N\cdot\right)\)
Để a nhỏ nhất có 3 chữ số ta chọn k = 2 => a= 203
