Question

Tìm số nguyên tố p sao cho \(p^2-4\) và \(p^2+4\) đều là số nguyên tố

Answer 1

Số p có một trong ba dạng : \(3k, 3k + 1, 3k + 2\) với \(k \in N*\)

Nếu \(p = 3k \)thì \(p = 3\) (vì \(p\) là số nguyên tố), khi đó \(p + 2 = 5, p + 4 = 7\) đều là các số nguyên tố.

Nếu \(p = 3k + 1\) thì \(p + 2 = 3k + 3\) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên \(p+2\) là hợp số, trái với đề bài.

Nếu \(p = 3k + 2\) thì \(p + 4 = 3k + 6\) chia hết chp 3 và lớn hơn 3 nên\( p + 4\) là hợp số, trái với đề bài.

Vậy \(p=3\) là giá trị duy nhất phải tìm.