Đặt \(A=\dfrac{x^5+3x^3-x^2+3x-7}{x^2+2}\)
\(A=\dfrac{x^5+2x^3+x^3+2x-x^2-2+x-5}{x^2+2}\)
\(A=\dfrac{\left(x^2+2\right)\left(x^3+x-1\right)+x-5}{x^2+2}\)
\(A=x^3+x-1+\dfrac{x-5}{x^2+2}\)
Để A nguyên thì \(\dfrac{x-5}{x^2+2}\) nguyên
\(\Rightarrow x-5⋮x^2+2\) \(\left(1\right)\)
\(\Rightarrow x^2-5x⋮x^2+2\)
\(\Rightarrow\left(x^2-5x\right)-\left(x^2+2\right)⋮x^2+2\)
\(\Rightarrow-5x-2⋮x^2+2\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) => \(5x-25⋮x^2+2\) (3)
Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\left(-5x-2\right)+\left(5x-25\right)⋮x^2+2\)
\(\Rightarrow-27⋮x^2+2\)
Mà \(x^2+2>2\); x nguyên dương nên \(x^2+2\in\left\{3;27\right\}\)
\(\Rightarrow x^2\in\left\{1;25\right\}\)
\(\Rightarrow x\in\left\{1;5\right\}\) (do x nguyên dương)
Thử lại ta thấy chỉ có x = 5 thỏa mãn đề bài
Vậy ...
