Điều kiện xác định: \(x>0\left(x\in N\right)\)
Không mất tính tổng quát giả sử: \(x\ge y\ge z>0\) ta có:
\(\dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{y}\le\dfrac{1}{z}\Leftrightarrow\dfrac{3}{z}\ge\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{z}\ge\dfrac{2z}{z}\Leftrightarrow2z\le3\Leftrightarrow z\le\dfrac{3}{2}=1,5\)
Vì: \(z\in N\) ta chọn \(z=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+1=2\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\)
Giải phương trình \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\Leftrightarrow x+y=xy\)
\(\Rightarrow x+y-xy-1=-1\)
\(\Rightarrow x\left(1-y\right)-1\left(1-y\right)=-1\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(1-y\right)=-1\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\1-y=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=-1\\1-y=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=2\\x=y=0\left(loại-vì-x;y\ne0\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(x;y;z\) là các hoán vị của \(1;2;2\) nghĩa là:
\(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;2\right);\left(2;1;2\right);\left(2;2;1\right)\)
Vậy...
