Ta có x^2−2y^2=1→x2−1=2y2x2−2y2=1→x^2−1=2y^2 (*)
+ Nếu x chia hết cho 3 thì x=3 (vì x là số nguyên tố). Thay vào (*) ta có
3^2−1=2y^2=8→y^2=4→y=2
+ Nếu x không chia hết cho 3 thì x có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k ∈∈ N)
Với x=3k+1 thì 2y^2=x^2−1=(x−1)(x+1)=(3k+1−1)(3k+1+1)=3k(3k+2)⋮3
Với x= 3k+2 thì 2y^2=x^2−1=(x−1)(x+1)=(3k+2−1)(3k+2+1)=(3k+1)(3k+3)=3(3k+1)(k+1)⋮3
Như vậy với mọi x không chia hết cho 3 thì x2−1⋮3→2y2⋮3x2−1⋮3→2y2⋮3. Mà (2;3)= 1
Nên y2⋮3y2⋮3. Do 3 là số nguyên tố nên y⋮3y⋮3. Mà y là số nguyên tố nên y=3
Thay y=3 vào (*) ta có:
x^2−1=2.3^2=18→x^2=19→x=√19
Vậy chỉ có 1 cặp số (x;y) thỏa mãn là x=3; y=2
+ Nếu x chia hết cho 3 thì x=3 (vì x là số nguyên tố). Thay vào (*) ta có
3^2−1=2y^2=8→y^2=4→y=2
+ Nếu x không chia hết cho 3 thì x có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k ∈∈ N)
Với x=3k+1 thì 2y^2=x^2−1=(x−1)(x+1)=(3k+1−1)(3k+1+1)=3k(3k+2)⋮3
Với x= 3k+2 thì 2y^2=x^2−1=(x−1)(x+1)=(3k+2−1)(3k+2+1)=(3k+1)(3k+3)=3(3k+1)(k+1)⋮3
Như vậy với mọi x không chia hết cho 3 thì x2−1⋮3→2y2⋮3x2−1⋮3→2y2⋮3. Mà (2;3)= 1
Nên y2⋮3y2⋮3. Do 3 là số nguyên tố nên y⋮3y⋮3. Mà y là số nguyên tố nên y=3
Thay y=3 vào (*) ta có:
x^2−1=2.3^2=18→x^2=19→x=√19
Vậy chỉ có 1 cặp số (x;y) thỏa mãn là x=3; y=2
Đúng 0
Bình luận (3)
Giải cách này nhanh hơn:Ta có:x2-2y2=1
\(\Rightarrow\)x2-1=2y2 (1)
+, x\(⋮\)3. Mà x là số nguyên tố nên x=3 thì từ (1)
\(\Rightarrow\)y=2
+, x\(⋮̸\)3 hay x2-1 \(⋮\)3 do đó 2y2\(⋮\)3.Mà (2,3)=1 nên
y\(⋮\)3.Do y nguyên tố nên y=3, khi đó x2=19 (loại)
Vậy cặp số (x;y) duy nhất thỏa mãn điều kiện của đề bài là (2;3)
Đúng 0
Bình luận (0)
