Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+4}=a\ge2\\2y=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-4+b^2=m-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=m-a\\a^2+b^2-m-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+\left(m-a\right)^2-m-2=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2m.a+m^2-m-2=0\) (1)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có ít nhất 1 nghiệm \(a\ge2\)
- Để (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-2\left(m^2-m-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-m^2+2m+4\ge0\Rightarrow1-\sqrt{5}\le m\le1+\sqrt{5}\)
- Để (1) có 2 nghiệm \(a_1\le a_2< 2\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a_1-2\right)\left(a_2-2\right)>0\\\frac{a_1+a_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1a_2-2\left(a_1+a_2\right)+4>0\\a_1+a_2< 4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{m^2-m-2}{2}-2m+4>0\\m< 4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-5m+6>0\\m< 4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 2\end{matrix}\right.\\m< 4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 2\\3< m< 4\end{matrix}\right.\)
Vậy để hệ đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow2\le m\le3\)
