ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{y-3}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=m\\a^2-1+b^2+3=2\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+m\\a^2+b^2=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(b+m\right)^2+b^2=2m\)
\(\Leftrightarrow2b^2+2m.b+m^2-2m=0\) (1)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có ít nhất 1 nghiệm không âm
Để (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-2\left(m^2-2m\right)\ge0\Rightarrow0\le m\le4\)
Để (1) có 2 nghiệm đều âm \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1+b_2=-\frac{m}{2}< 0\\b_1b_2=\frac{m^2-2m}{2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\)
Vậy để hệ đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow0\le m\le2\)
